由第一章分析得到，系统降阶模型和原系统模型在中频段的拟合程度很好，故基于降阶模型设计的控制器对于中频段的设置也可以比较好的用于原系统11阶模型。我们图中也可以清晰看到，加了控制器之后，系统在中频段拟合程度还是不错的。

4.6本章小结

运用极点配置设计状态反馈控制器，再外加一个内膜原理消除一些扰动，这其实是苏老师上课重点给我们讲解的内容，也可以算是我们线性系统?的重中之重了。上文中设计的状态反馈控制器能够很好的对阶跃信号达到无静差地跟踪，另外调节时间也符合题意的要求，整个设计过程刚开始分析时思路也比较明确，最后结果也不错，相角裕度也挺好的。通过运用极点配置设计状态反馈巩固加深了对设计系统的理解。

第五章 基于LQR控制器设计与分析

5.1 LQR概述

LQR(Linear Quadratic regulator)即线性二次型调节器，其对象是现代控制是理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR最优设计是指设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数的J取最小值，而K由加权矩阵Q与R唯一决定，故此Q、R的选择尤为重要。LQR理论是现代控制理论中发展得最早也是最为成熟的一种状态空间设计法。特别的是，LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制。而且Matlab的应用为LQR理论仿真提供了非常好的条件，更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。

对于线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态变量和（或）控制变量的二次型函数积分，则这种动态动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次问题。线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，并可简单地采用状态线性反馈控制构成闭环最优控制系统，能够兼顾多项性能指标，因此得到特别的重视，为现代控制理论中发展较为成熟的一部分。

LQR最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性能指标（事实也可以对不稳定的系统进行镇定），而且方法简单便于实现，同时利用 Matlab 强大的功能体系容易对系统实现仿真。

对于线性系统，若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标，这种动态系统最优问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型问题。它的最优解可以写成统一的解析表达式，而且可以导出一个简单的状态线性反馈控制律，其计算和工程实现都比较容易。MATLAB控制系统工具箱提供了一些LQ（Linear Quardratic,线性二次型）设计工具，可以很方便地完成线性二次型最优控制器的设计。

线性二次型最优控制问题的重要性在于其具有如下特点：

(1)对于用线性微分方程或线性差分方程描述的动态系统，最优控制指标具有非常明确、实际的物理意义。(2)在系统设计技术上做到规范化，具有统一的解析形式。(3)构成反馈控制形式，可以得到线性反馈控制的最优解.(4)在工程实现上使实时控制计算工作大为简化。

5.2 LQR控制器设计原理

考虑线性系统的状态方程为：

2关于线性二次型控制（LQR）的最优化问题的定义如下：寻找一个状态反馈控制：

,使得如下性能指标最小化：

其中Q为半正定矩阵，R为正定矩阵，Q、R分别为对状态变量和输入向量的加权矩阵。要使性能函数J最小，可先构造一个Hamilton函数：

然后通过求导的方法可以求出最优控制信号其中

矩阵就是Riccati方程的解：

上面的方程是微分Riccati方程，一般是多个互相耦合非线性微分方程组，除了特殊情况下，一般不存在解析解。这就给求解最优控制信号因此，我们一般求解阵，

的稳态解。即令

趋于无穷，则

造成了困难。趋于一个常值矩

为：

的一阶倒数趋于零，有：

上式被称为代数Riccati方程，其求解就比较容易了。并且，因为都是矩阵运算，用MATLAB实现起来也比较容易。因此，系统设计归结于求解Riccati方程的问题，并求出反馈增益矩阵。其基本设计步骤大概分为三步：(1)由Riccati方程解得矩阵，若P为正定矩阵，则系统是稳定的。（2）按增益矩阵K。（3）线性二次型最优控制

。

计算反馈

设计线性二次型最优控制器关键是选择矩阵Q和R。而Q、R的选择无一般规律可循，一般采用试凑法，即选择不同的Q、R代入计算比较结果而确定。这里提供几个选择的一般原则：

（1）Q、R都应是堆成矩阵，Q为半正定矩阵，R为正定矩阵。

（2）通常选用Q和R为对角线矩阵，实际应用中，通常将R值固定，然后改变Q和N的数值，最优控制的确定通常在通过仿真或实际比较后得到。当控制输入只有一个时，R成为一个标量数（一般可直接选R=1）。

由于MATLAB中有函数lqr(A,B,Q,R,N)可以直接用于计算最优增益K来帮我们设计LQR控制器。

5.3 LQR控制器设计过程

虽然LQR控制器设计推导过程比较复杂，但在设计时并不困难，从前面的论述可以看出，设计该控制器的关键在于加权矩阵的Q和R选取，一般可以根据所期望的性能质变以及状态、输入在指标函数中的权重来选取这二个加权矩阵，进而求得相应的状态反馈增益矩阵K，用于状态反馈控制器。

本次课题要求设计后的LQR状态反馈控制器闭环系统可无静差地跟踪阶跃信号，并且在有参数扰动和常数负载扰动的情况下，闭环系统可同样对阶跃信号达到无静差跟踪。故需要在LQR设计状态反馈的基础上加入内膜原理，再利用MATLAB求出的状态空间模型设计控制器，选取合适的权阵Q和R，通过LQR算法求出最优的反馈增益阵K来满足课题要求。整个LQR状态反馈控制器加内原理的结构图如下图5-1所示：

膜

图5-1 LQR状态反馈控制器加内膜原理系统结构图

由于MATLAB中有现成的LQR算法，故我们直接调用lqr函数计算最优增益矩阵K，其中lqr()函数的调用格式为

.。式中K即

为计算出最优增益矩阵，P为黎卡提代数方程的解，E为闭环系统零极点。