安全专业平时作业
思考题1
1.5.管道包扎。水管或煤气管道经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎是用很长的带子缠绕在管道外部，如图1.4。为节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且所用带子最节省？
图1.4 管道包扎示意图
解：(一)、设管道直径为d，带子与管道水平线的夹角为?(0????90?)，且A?90???。将管道展开如下图：
由图可得：
?w??dcos? ??L1??dl/w(L1代表包扎l长度管道所需带子长度)若考虑两端影响则应加上L2?2*?dw/sin?。 即总长度为
L?L1?L2
代码如下： clc clear L=500; d=0.2;
a=0:0.1:pi/2;
y=L./cos(a)+2*(pi*d)^2*cos(a)./sin(a); plot(a,y,'r')
图1 夹角与带子长度间的关系图
故可知A越接近于90度越省材料。 (二)、模型改进
该模型只考虑了理想化的情况，即包扎时没有重叠的部分，实际中则需要重叠一部分，其展开图如下：
图2 包扎重叠模型展开图
??xy?al?bc?(a?x)c2?(a?x)2?? ?y?l?c?cos??22c?(a?x)?cos???c?由此方程组得：
(2x?a)c2?(a?x)2?xl?al?bc?0
可以利用Matlab 变成进行求解。
1.7.停车问题。沿街边停靠的汽车整齐地排成一行，一辆汽车开往中间的一个空位准备
停车。一个供汽车驾驶员使用的训练手册对此作如下建议：首先将汽车开到超过空位的距离为车长的x%，离停靠在街边的车的距离为车身宽度的y%之处（如图1.7所示），再倒车回空位停放。
图1.5车位示意图
1）请你建立一个数学模型让手册的制定者用来确定x和y的适当数值。 2）求出不超过规定车位的宽度能停车的空地的最小长度L。 3）若将汽车正向开进车位，考虑会是怎样的情况？ 解：
思考题2
2.6 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，
k?r；在每个生产周期T内，开始的一段时间(0?t?T0)一边生产一边销售，后来的一
段时间(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k??r和k?r的情况。
解：1 模型假设
(1) 生产能力有限大，当贮存量降为零时，立即再生产. (2) 产品的市场需求量不变. (3) 产品每天需求量为常数r.
(4) 每次生产准备费用为c1，每天每件产品贮存费为c2 . 2 建立模型
列出贮存量与时间
?q(t)?kt?rt?(k?r)t(0?t?T0) ?q(t)?kT?rt(T?t?T)?00q(t) 与t 的关系图：
由图可得每天的平均费用是C=4 模型求解
由上式得：当T??Cc1c2(k?r)rT . ??TT2k2C1C2(k?r)r 。
k?2C1r时 ，C最小，此时C?(k?r)rC2?2C1当kr时，T?即不考虑生产情况，?C2r结果解释：?
??当k?r时，T??此时产量与销量互相抵消，无法形成周期。思考题3
3.1 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从指数增长模型
dp(t)/dt?0.003p(t)
其中，t以分钟计。在t?0时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是0.001p(t)，其中p(t)是t时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
1）考虑到两种因素，试修正指数增长模型。
2）假设在t?0时存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数p(t)，并问t??时会发生什么情况？
2思考题4
4.1 在报童问题中，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份、方差50的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入为多少？
解：由正态分布公式知需求量满足：
1f(r)?2??概率密度函数为：
(r??)exp(?)dr(?=500，?=50)， ???2?2r21(r??)p(r)?exp(?)22?2??假设每天购进量为n份，则每天的收入为
2(?=500，?=50)。
?(1?0.75)*r?(0.75?0.6)*(n?r)g???(1?0.75)*n则每天平均收入为：
n(r?n)(r?n)
E(g)??[(1?0.75)r?（0.75-0.6）?n?r?]f(r)?r?0r?n?1?(1?0.75)nf(r)
?问题归结为：在f(r) 和a,b,c已知时，求n使E(g)最大。 利用f(r)转化为概率密度函数p(r)，上式变为：
E(g)??[(1?0.75)r?（0.75-0.6）?n?r?]p(r)dr??(1?0.75)np(r)dr
0nn?令
dE(g)?0，得到 dn??n0?p(r)drp(r)dr?1?0.75。
0.75?0.6n使报童日均收入达到最大的购进量n应满足上式，因为
??np(r)dr=1 ，所以又可表为
?n0p(r)dr?1?0.75
0.75?0.6利用Matlab求解得： 源代码如下：
4.2 一商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为50元，售价为70元，如果售不出去，每单位商品将损失10元。已知甲商品销售量k服从参数??6（即平均销售量为6单位）的泊松分布p(k)??e能使平均收益最大？
4.3 设某货物的需求量呈正态分布，已知其均值??150，方差??25。该商品每件进价为8元，售价为15元，处理价为5元，缺货供应没有损失。问最佳订货批量应是多少？
解：由正态分布公式知需求量满足：
k??k!，k?0,1,2,。问该商店订购量应为多少单位时，才
1f(r)?2??概率密度函数为：
(r??)exp(?)dr(?=150，?=25) ???2?2r21(r??)p(r)?exp(?)22?2??假设每天购进量为n件，则每天的收入为
2(?=150，?=25)
?(15?8)*r?(8?5)*(n?r)g???(15?8)*n则每天平均收入为：
n(r?n)(r?n)
E(g)??[(15?8)r?（8-5）?n?r?]f(r)?r?0r?n?1?(15?8)nf(r)
?问题归结为：在f(r) 和a,b,c已知时，求n使E(g)最大。 利用f(r)转化为概率密度函数p(r)，上式变为：
E(g)??[(15?8)r?（8-5）?n?r?]p(r)dr??(15?8)np(r)dr
0nn?令
dE(g)?0，得到 dn??n0?p(r)drp(r)dr?15?8。 8?5n4.4 讨论例4.1中参数c1、c2和 c3对最优订货点的影响。
4.6 某学校预计召开家长会，该校共有1000名学生，对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量。 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.1，0.7，0.2，并且假设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过700的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于500的概率。 解：
思考题5
5.1 为了提高某丝织品的质量，通过控制上机张力来控制织缩率（成品长与原料丝长之比），进而减少断头率。进行了15次试验，数据如表5.12。试建立织缩率与断头率的表达式。
表5.12
序号 织缩率（x） 1 2 3 4 5 6 7 4.20 4.06 3.80 3.60 3.40 3.20 3.00 断头率y(根/台·时)
0.086 0.090 0.120 0.130 0.150 0.170 0.190 序号 8 9 10 11 12 13 14 15 织缩率（x） 2.80 2.60 2.40 2.20 2.00 1.80 1.60 1.40 断头率y(根/台·时)
0.090 0.220 0.240 0.350 0.440 0.620 0.940 1.620 5.2 海生类动物儒艮的长度对y年龄x的关系，有如表5.13观测数据，试确定之。
表5.13
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1.5 1.5 1.5 2.5 4.0 5.0 5.0 7.0 1.80 1.85 1.87 1.77 2.02 2.27 2.15 2.26 2.35 x y
序号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.0 8.5 9.0 9.5 9.5 10.0 12.0 12.0 13.0 2.47 2.19 2.26 2.40 2.39 2.41 2.50 2.32 2.43 x y
序号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 13.0 14.5 15.5 15.5 16.5 17.0 22.5 29.0 31.5 2.47 2.56 2.65 2.47 2.64 2.56 2.70 2.72 2.57 x y 解：
y?-0.000011187428029x4+0.000717146865031x3-0.016250581136263x2
+0.179276545100062x+1.6301890255865315.4 一个班有7名男性工人，他们的身高和体重列于表5.15。
表5.15
工人编号 身高 体重
1 1.70 79 2 1.85 58 3 1.70 71 4 1.65 65 5 1.76 70 6 1.65 62 7 1.62 49.5 请把他们分成若干类并指出每一类的特征。这里身高以米为单位，体重以千克为单位。
思考题6
6.1 要从宽度分别为 3 m 和 5 m 的 B1 型和 B2 型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为 1.5 m，2.1 m 和 2.7 m 的 A1 型、A2 型和 A3 型三种卷纸 3000 m、10000 m 和 6000 m。问如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少。
解：用B1型切割时： 模型1 模型2 模型3 A1/根数 2 0 0 A2/根数 0 1 0 A3/根数 0 0 1 余料/m 0 0.9 0.3 用B2型切割时： 模型4 模型5 模型6 模型7 模型8 模型9 A1/根数 2 0 0 1 1 0 A2/根数 0 2 0 1 0 1 A3/根数 0 0 1 0 1 1 余料/m 2 0.8 2.3 1.4 0.8 0.2 设共需要B型纸的面积为S，需要B1型y1 M，需要B2型y2 M，用xi?i?1,2,3......9?代表利用模式i进行切割的长度。 目标函数：
S?3y1?5y2
条件函数：
s.t.?2x1?2x4?x7?x8?3000?x?2x?x?x?100002479? ??x3?x6?x8?x9?6000?y?x?x?x123?1??y2?x4?x5?x6?x7?x8?x9利用lingo编程求解得：
?Smin?22987.90?x?1378.526?1??x2?81.64966 ?x?6000.000?3?x4?121.4745???xi?i?5,6,7,8,9??0结果解释：
采用模式1有1378.526m，采用模式2有81.64966m，采用模式3有6000m，采用模式4有121.4745m，使用最小面积为22987.90m。
Lingo代码如下：
min=3*(x1+x2+x3)+5*(x4+x5+x6+x7+x8+x9); 2*x1+2*x4+x7+x8=3000; x2+x2*x4+x7+x9=10000; x3+x6+x8+x9=6000;
6.2 某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如表6.11。
表6.11 各机床加工效率与有效工作时数
加工时数 机床 产品 单 价 甲 乙 丙 丁 （百元/件） A B 2 1 4 0 2 2 0 1 240 200 180 140 2 3 有效时数
1）求收入最大的生产方案；
2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4（百元/件）时，求C投产后的生产方案。
3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如表6.12。问应如何安排生产。
表6.12 机床戊的加工效率与有效工作时数
产品 精加工时间 A B 2 2.4 有效时数 248
6.3 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表6.13所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
1）政府及代办机构的证券总共至少要购进 400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； 3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
表6.13 投资收益参数
证券名称 A B C D E 证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益（％） 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5
试解答下列问题：
1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：(1) 设xi?i?1,2,3,4,5? 分别代表投资A，B…型证券的金额，W 为税后总收益。 目标函数：
max:W?4.3%x1?4.5%x5??5.4%x2?5%x3?4.4%x4??50%
约束条件：
?x2?x3?x4?400???2x1?2x2?x3?x4?5x5??1.4?????x1?x2?x3?x4?x5?s.t.? ??9x1?15x2?4x3?3x4?2x5??5???x?x?x?x?x12345?????x1?x2?x3?x4?x5=1000利用lingo编程求解，源代码如下：
x3+x2+x4>=400;
(2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4; (9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=5; x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
max=0.043*x1+0.045*x5+(0.054*x2+0.05*x3+0.044*x4)*0.5;
结果为：
?Wmax?29.83636?x?218.1818?1??x2?0 ?x?736.3636?3?x4?0 ???x5?45.45455结果解释：投资A市政218.1818万元，投资B代办机构0万元，投资C政府736.3636
万元，投资D政府0万元，投资E市政45.45455万元，总的最大收益为29.83636万元。
6.7 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表6.15所示（单位：分钟） 。
表6.15 学生各阶段面试的时间
同学甲 同学乙 同学丙 同学丁 秘书初试 13 10 20 8 主管复试 15 20 16 10 经理面试 20 18 10 15
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司？
思考题8
8.1 外出旅游选择交通工具（包括飞机、火车、汽车），由于不同人外出的目的不同，经济条件不同，体制、心理、经历、兴趣都不同，考虑到安全、舒适、快速、经济、游览等因素，问应如何选择交通工具。
解：
8.2 建立层次分析模型解决下列问题：
1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型，可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。
2）你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何做出决策。 3）为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。
4）你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔…？
8.3 影响教师教学质量的因素可以取为四个：U1=清楚易懂，U2=教材熟练，U3=生动有趣，U4=板书工整，这样便做出因素集U?{U1,U2,U3,U4}。评判集取为：
V?{V1,V2,V3,V4}={很好，较好，一般，不好}。对某个教师，可请若干人（学生、教师
等）进行单因素评判，从而做出综合评定。