122 随机信号分析与应用

则输出自相关函数

即：

上式要分别按??0与?＜0求解。当??0时（注意h(t)因果）有：

由于自相关函数的偶对称性，则当?＜0时有

合并?

?0和?＜0的结果，得到输出自相关函数

③ 在上式中?＝0即可得输出的平均功率为

注意到b是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽?f有关。

第三章 随机信号通过线性系统的分析 123

于是的输出平均功率又可写为

显然，该电路输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。 ④ 根据式有

同理

[例3.2] 应用举例：测量线性系统单位冲激响应的方法

图3.2 测量线性系统单位冲激相应的方法

124 随机信号分析与应用 输入X(t)是白噪声。Z(t)= X(t-?)?Y(t)，Z(t)通过一个带宽充分地小的低通滤波器的输出将几乎是Z(t)的直流成分(也就是它的时间平均)。若输入X(t)是遍历性的，则Z(t)也将是遍历性的，Z(t)的直流分量将与Z(t)的均值相同。因此

因此在平稳的情况下 ． 所以

根据式得

即

由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。改变?，就能测出线性系统的完整单位冲激响应。

推广：通常只要输入随机信号的带宽与被测线性系统带宽的比值很大时，利用互相关函数测量设备就能得出单位冲激响应h(t)。

[例3.3] 输入随机信号的带宽远大于线性系统带宽，则可把输入信号看作白噪声。

第三章 随机信号通过线性系统的分析 125 设X(t)的自相关函数为

?btRX(?)??N04e???，

?bh(t)?beU(t)，这里?f??，?fb?为各自的半功率

2?2?带宽， ???b，求RY(?)。

解：

当?

?0时，分??u?v和??u?v两部分积分：

因为RY(?)?RY(-?)，所以

因为?????0，即 ??b，则b2??2???2，ebN0?b?＝输入的相关函数为白噪声通过一RY(?)?e4个线性系统 。

结论：在输入噪声的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理地利用白噪声来近似输入随机信号。