162 随机信号分析与应用

图 3.12

3.5.3 工程上产生窄带噪声的两种方法

1、使用窄带滤波器

窄带噪声

宽带白噪声发生器 窄带带通滤波器

第三章 随机信号通过线性系统的分析 163

图 3.13 2、 使用莱斯表达式:

a(t)

f1(t)

白噪声 低通滤波器 × cos?0t X(t) ＋ 振荡器 b(t) ?/2 - 白噪声 f2(t) 低通滤波器 ×

图3.14

3.5窄带随机过程包络与相位的特性

3.5.1 窄带随机过程包络与相位的慢变化特性

164 随机信号分析与应用 定理：当X(t)为窄带随机过程，即X(t)的功率谱带宽?????0，

A(t)和?(t)是慢变换的随机过程。

证明：因为a(t)和b(t)是低频限带随机过程，即它们的功率谱只在0????c区间内非0，且?c???0。则

E{[a(t??)?a(t)]2}?E[a2(t??)?a2(t)?2a(t)a(t??)]

＝2Ra(0)?2Ra(?) ＝＝数

＝

1?1(????Sa(?)d??????Sa(?)ej??d?)

?1?????Sa(?)(1?ej??)d? 注意到功率谱非负性和偶函

Sa(?)(1?cos??)d? ????注意:cos??2cos2?22?1?1?2sin2?2 ＝

Sa(?)2sin????11?2??d?

?＝

?1????c?Sa(?)2(??22)2d? 注意：sin???

d?22??c?Sa(?)???c?22?2?212????cSa(?)d?

?c＝?c?Ra(0)

2222??)?a(t)]2}??c?Ra(0)＝?c?E[a2(t)]

即：E{[a(t第三章 随机信号通过线性系统的分析 165 (此式说明：若???1?c（即?c???1），在

t到t??的时间

内，a(t)的变化的均方值远小于a(t)的均方值。)

因为?c???0，即T0??Tc?1知T02??c1，

令??T0，由????c???c

2?X由切比雪夫不等式：P{X?E(X)??}?,

2?令

X?a(t?T0)?a(t)带入上式，得：

，注意

E(X)?E[a(t?T0)]?E[a(t)]?0

P{[a(t?T0)?a(t)]?0??}?E{[a(t?T0)?a(t)]2}?2

22?c?E[a2(t)]即P{a(t?T0)?a(t)??}?

?2显然，当T0近于0。

????1?c即?c???1，对于给定的?2?0右式趋

结论： X(t)为窄带随机过程时，在一个高频周期T0内，a(t)的变化的概率趋于0。也就是说，a(t)为慢变换的随机过程，同理，b(t)也为慢变化随机过程，则A(t)，?(t)也是慢变化的随机过程。