故不存在实数a，b，使得a?2b?2，【点睛】

12??m. ab本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.

1x2y218．已知椭圆C：2?2?1（a?b?0），与x轴负半轴交于A(?2,0)，离心率e?.

2ab（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：y?kx?m与椭圆C交于M?x1,y1?，N?x2,y2?两点，连接AM，AN并延长交直线x?4于E?x3,y3?，F?x4,y4?两点，已知

1111???，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标. y1y2y3y4x2y2【答案】（1）??1 （2）证明见解析；定点坐标为(1,0)

43【解析】 【分析】

（1）由条件直接算出即可

?y?kx?m,2?8km?24m?1222223?4kx?8kmx?4m?12?0x?x?（2）由?x得，，，由xx?y1212223?4k?1.3?4k??3?4??kAM?kAE可得y3?【详解】

6y16y21111??推出m??k即可 ，同理y4?，然后由?x1?2x2?2y1y2y3y4（1）由题有a?2，e?c1?.∴c?1，∴b2?a2?c2?3. a2x2y2∴椭圆方程为??1.

43?y?kx?m,?222（2）由?x2y2得3?4kx?8kmx?4m?12?0

?1.??3?4????64k2m2?4?3?4k2??4m2?12??0?m2?4k2?3

?8km4m2?12k?kx1?x2?.又AM，x1x2?AE 223?4k3?4ky1?0y3?06y1??y?∴， 3x1?24?2x1?2同理y4?6y2 x2?2又

1111??? y1y2y3y4y1?y2x1?2x2?2x1y2?x2y1?2(y1?y2)???∴ y1y26y16y26y1y2∴4(y1?y2)?x1y2?x2y1

∴4(kx1?m?kx2?m)?x1(kx2?m)?x2(kx1?m) ∴(4k?m)(x1?x2)?2kx1x2?8m?0

?8km(4m2?12)24(k?m)∴(4k?m)?2k?8m?0??0 2223?4k3?4k3?4k∴m??k，此时满足m2?4k2?3 ∴y?kx?m?k(x?1) ∴直线MN恒过定点(1,0) 【点睛】

涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 19．我们称n（n?N）元有序实数组（x1，x2，…，xn）为n维向量，

??xi?1ni为该向量的范数.已知n

rr维向量a??x1,x2,L,xn?，其中xi???1,0,1?，i?1，2，…，n.记范数为奇数的n维向量a的个数为An，

这An个向量的范数之和为Bn. （1）求A2和B2的值；

（2）当n为偶数时，求An，Bn（用n表示）.

nn?13【答案】（1）A2?4，B2?4.（2）An??1，Bn?n??3?1?

2【解析】 【分析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示An和Bn，再由

k?1公式?n?k?Cn?nCn?1或kCkn?nCn?1将组合数进行化简，得出最终结果.

kk【详解】

解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：??1,0?，?0,?1?，?0,1?，?1,0?， 它们的范数依次为1，1，1，1，故A2?4，B2?4.

r（2）当n为偶数时，在向量a??x1,x2,x3,L,xn?的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是

奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，n?1进行讨论：a的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或?1，共有C?21nn?1rr个，每个a的范数为n?1；

rr3n?3C?2n301个，每个a的范数为n?3； a的个坐标中含个，其余坐标为或?1，共有nra的n个坐标中含n?1个0，其余坐标为1或?1，

n?1共有Cn?2个，每个a的范数为1；所以 n?13n?3n?1An?C1?2?C?2?L?Cnnn?2，

rn?1n?3n?1Bn??n?1??C1??n?3??C3?L?Cn?2. n?2n?2n1n?1n?2n因为?2?1??C0，① ?C2?L?Cnn?2?Cn?2n?2n?2?1?nn1n?1n?2n，② ?C0?C2?L???1?Cnn?2?Cn?2n?2n①?②得，C1?2n?1?C3?2n?3?L?3n?1，

nn22n3所以An??1. 2n?1?!?n!?n??nCk解法1：因为??n?k?C??n?k??n?1，

k!?n?k?!k!?n?1?k?!kn所以Bn??n?1??Cn?21n?1n?3n?1??n?3??C3?L?Cn?2. n?2n?1n?3?1?n?C1?C3?L?Cnn?1?2n?1?2n?1?2? n?23n?4n?1?2n?C1?2?C?2?L?Cn?1n?1n?1?

n?1?3?1??n?3n?1?1. ?2n??????2?n①?②0n2n?23解法2：得，Cn?2?Cn?2?L??1. 22k又因为kCn?k??n?1?!?1n!?n??nCkn?1，所以 k!?n?k?!?k?1?!?n?k?!kCkn?k??n?1?!?1n!?n??nCkn?1 k!?n?k?!?k?1?!?n?k?!n?13n?3n?11n?13n?3n?1?n?C1?2?C?2?L?C?2?C?2?3?C?2?L?n?1?C????nnnnnn?2?

?nAn?n?C0n?1?2n?1?C2n?1?2n?3?L?Cn?2n?1nn?1?3?13?1??n?3n?1?1. ?2??n?????2??2?【点睛】

本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.

20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：

（1）MN∥平面ABB1A1； （2）AN⊥A1B．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】

（1）利用平行四边形的方法，证明MN//平面ABB1A1. （2）通过证明A1B?平面AB1N，由此证得A1B?AN. 【详解】

（1）设E是AB中点，连接ME,B1E，由于M是AC中点，所以ME//BC且MN?且B1N?1BC，而B1N//BC21BC，所以ME与B1N平行且相等，所以四边形MEB1N是平行四边形，所以MN//B1E，2由于MN?平面ABB1A1，B1E?平面ABB1A1，所以MN//平面ABB1A1.

（2）连接AB1，由于直三棱柱中BC?BB1，而BC?AB，BB1?AB?B，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC?A1B，由于BC//B1C1,所以B1C1?A1B.由于四边形ABB1A1是矩形且AB?AA1，所以四边形

ABB1A1是正方形，所以A1B?AB1,由于AB1?B1C1?B1,所以A1B?平面AB1N，所以A1B?AN.

【点睛】