中考数学人教版专题复习：二次函数与动态问题的综合应用

一、考点突破

1. 二次函数的“存在性问题”； 2. 二次函数与动态问题的综合应用。

二、重难点提示

重点：二次函数的“存在性问题”。 难点：二次函数与动态问题。 考点精讲

1. 二次函数的“存在性问题”

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。 这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

易错点：

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。 2. 二次函数的“动态问题”

动态几何特点——问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 【重要提示】

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 典例精析

1

2例题1 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为(4,?)），且与y轴交于

3点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）。

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP＋CP的最小值，若不存在，请说明理由；

ylCOABx

思路分析：（1）利用顶点式，求得二次函数的解析式后，令其等于0后，求得x的值，即为与x轴交点坐标的横坐标；

（2）线段BC的长，即为AP＋CP的最小值； 答案：（1）由题意，设抛物线的解析式为 2y?a(x?4)?(a?0)32∵抛物线经过（0，2） 2?a(0?4)??232解得：a?1 612 2?y?(x?4)?6312即：y?(x?4)2?

63当y＝0时，

2

122(x?4)??063解得：x＝2或x＝6 ∴A（2，0），B（6，0）。 （2）存在，

如图，由（1）知：抛物线的对称轴l为x＝4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP＝BP，所以AP＋CP＝BC的值最小。

∵B（6，0），C（0，2） ∴OB＝6，OC＝2 ∴BC＝210 ∴AP＋CP＝BC＝210 ∴AP＋CP的最小值为210。

ylCPOABx

技巧点拨：本题考查二次函数的综合知识，特别是用顶点式，求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容。

例题2 如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，交正方形外角的平分线CF于点F。

（1）图1中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等，来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）。

3

①AE＝EF是否总成立？请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标。

思路分析：（1）取AB的中点G，连接EG，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等。 （2）①在AB上截取AM＝EC，证得△AME≌△ECF，即可证得AE＝EF。

②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH＝BE＝CH，设BH＝a，则FH＝a－1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，得到有关a的方程，求得a值，即可求得点F的坐标；

答案：（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG。

△AGE与△ECF全等。 （2）①若点E在线段BC上滑动时，AE＝EF总成立。 证明：如图2，在AB上截取AM＝EC。

4