4.（2017年1卷7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16 【解析】：将三视图还原可得右图图形，故而多面体有两个面是梯形，此时可得S?2?1?2?4??2?12,故而选B。 25.（2016年3卷9）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )
A.18+365 B.54+185
C.90 D.81
【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为底边长为3,侧棱为35的矩形,前后为底边为3,侧棱为35的平行四边形,且底边上的高为6,所以S=9+9+18+18+95+95=54+185.
6.（2018年1卷12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.
【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体
中，
B.
C.
D.
平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的
直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为
7.（2018年2卷16） 已知圆锥的顶点为，母线面所成角为45°，若
【解析】因为母线
，
的面积为
，
所成角的余弦值为，
与圆锥底
与
中间的，
，故选A.
，则该圆锥的侧面积为__________．
所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因
9
为因为
的面积为，设母线长为所以
，
与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
【小结】对面积的考查，首先要记住柱体、锥体、台体及球体等各种常见几何体的面积公式以及他们的区别与联系。其次将立体问题平面化，对于多面体，尽量将其补成长方体，弄清各个面的形状特征，如果还弄不清，则需要把整个侧面还原成平面图形。对于旋转体，则需把曲面展开成平面图形再计算面积。
五、球的组合体（5题）
1.（2017年3卷8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
3πππA．π B． C． D．
4２4
3?1?【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r?1????，
22??3π2则圆柱体体积V?πrh?，故选B.
4
2.（2015年2卷9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A．36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O?ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时C22111VO?ABC?VC?AOB??R2?R?R3?36，故R?6，则球O的326表面积为S?4?R2?144?，故选C．
OAB3.（2016年3卷10）(10) 在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球，若
AB?BC，AB?6，BC?8，AA1?3，则V的最大值是（ ）
A．4π B．
9? 2C．6π D．
32? 3
【解析】：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底
10
面都相切时，球的半径取得最大值
4343393，此时球的体积为?R??()??，故选B．
33222
4.（2018年3卷10） 设是同一个半径为4的球的球面上四点，边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
【解析】如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当棱锥
体积最大此时，,
点M为三角形ABC的重心,
中，有
,故选B.
5.（2019年1卷12）已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A．86? B．46? C．26?
D．6?
,
,
平面
为等
时，三
【解析】解法1：PA?PB?PC,△ABC为边长为2的等边三角形，?P?ABC为正三棱锥，?PB?AC，又E，F分别为PA，AB的中点，?EF∥PB，?EF?AC，又
EF?CE，CEAC?C,?EF?平面PAC，∴PB?平面PAC，
??APB??????PA?PB?PC?2，
?P?ABC为正方体的一部分，2R?2?2?2?6，
即R?64466,?V??R3?π??6?，故选D． 2338解法2：设PA?PB?PC?2x，E,F分别为PA,AB的中点，?EF∥PB， 且EF?1PB?x，△ABC为边长为2的等边三角形，?CF?3， 2 11
又?CEF?90?，?CE?3?x,AE?21PA?x， 2△AEC中，由余弦定理可得cos?EAC?作PD?AC于D，
x2?4??3?x2?2?2?x，
PA?PC，\\D为AC的中点，cos?EAC?AD1?，PA2xx2?4?3?x2112，?2x2?1?2，，?PA?PB?PC?2， ???x2?，x?4x2x22又AB=BC=AC=2，?PA,PB,PC两两垂直，?2R?2?2?2?6，
?R?64466?V??R3????6?，故选D. 2338【小结】这类问题是多数学生比较畏惧的题目，他对学生的空间想象能力要求更高。
（一）正四面体的外接球与内切球
方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h为正四面体的高AE).
方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R，根据比例可求r，h.
(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径R=(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r=6a(a为正四面体的棱长). 46a(a为正四面体的棱长). 12 →
方法（1） 方法（2） （二）一般几何体
1.内切球：等体积法，关键截面法 2.外接球： 解题思路及步骤 根据条件确定类型 注意事项 类型1：可补成长方体且所有顶点为所补长方体的顶点的几何体的外接球问题，主要特征是由较多的垂直关系，例如墙角三棱锥；类型2：有侧棱⊥底面条件几何体外接球问题，例如直三棱柱；类型3：已知相邻两个面所成二面角的大小，例如已知两个面垂直 类型2类型3画出解决问题的截面图 若截面为三角形，则画出基本图形 求截面半径 r?aaa,特别地A?90?,r?;A?60?,r?) 2sinA2312