全国卷历年高考立体几何小题真题归类分析（含答案）

（2015年-2019年，共27题）

一、视图问题、位置关系问题、棱长问题等（6题）

1. （2018年3卷3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

【解析】观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.

2.（2016年2卷14）?，?是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：

①如果m?n，m??，n∥?，那么???． ②如果m??，n∥?，那么m?n． ③如果a∥?，m??，那么m∥?．

④如果m∥n，?∥?，那么m与?所成的角和n与?所成的角相等． 其中正确的是： .

【解析】根据平行、垂直有关定理可以判断②③④正确，①中条件不能确定?，?的关系.

3．（2019年2卷7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 【解析】由面面平行的判定定理知：?内两条相交直线都与?平行是?∥?的充分条件，由面面平行性质定理知，若?∥?，则?内任意一条直线都与?平行，所以?内两条相交直线都与?平行是?∥?的必要条件，故选B．

1

4.（2018年1卷7） 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A.

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为

，故选B.

B.

C. D. 2

5．（2019年3卷8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ） A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线

【解析】如图所示，作EO?CD于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF?OD于F，连接BF，

平面CDE?平面ABCD，EO?CD,EO?平面CDE，

?EO?平面ABCD，MF?平面ABCD，?△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知

EO?3,ON?1,EN?2，

MF?35,BF?,?BM?7，?BM?EN，故选B． 22

6．（2019年2卷16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．

2

【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18?8?26个面． 如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB?BE?x，延长BC与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，?BGE为等腰直角三角形，

?BG?GE?CH?22x,?GH?2?x?x?(2?1)x?122，?x?1?2?1，即该半正多面体棱长为2?1． 2?1

【小结】这类题主要考查空间想象能力、空间线与线、线与面、面与面的位置关系，从2019年的三套全国卷来看，立体几何小题考查更加灵活，但万变不离其中，只要基础扎实，把握解决立体小题的基本方法，问题迎刃而解。例如，2019年2卷的第16题，3卷的第8题都是要求学生通过做辅助线补成熟悉几何体，帮助考生建立空间想象。可见题目虽然新颖，但还是考“割补法”，立体几何平面化。

二、空间角（4题）

在长方体，1.（2018年 2卷9）中，，则异面直线

与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D.

【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

,所以

,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为

，选C.

2.（2017年 2卷10）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ABC?120，AB?2，

BC?CC1?1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）.

3

A．331510 B． C． D． 2355【解析】设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，则AB1和BC1的夹角为MN和NPπ??1512夹角或其补角（异面线所成角为?0，?）.可知MN?AB1?，NP?BC1?，

2??22221取BC的中点Q，联结PQ,MQ,PM，则可知△PQM为直角三角形．PQ?1，MQ?AC.

2?1?在△ABC中，AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC?4?1?2?2?1?????7，即

?2?AC?7，则MQ?在△PMN中，

711，则在△MQP中，MP?MQ2?PQ2?. 22MN2?NP2?PM2cos?PNM?

2?MN?NP?5??2??11???2?????2?????2??????????10. ?5522??22π??10又异面直线所成角为?0，?，则其余弦值为．故选C.

2??5

3.（2016年1卷11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( )

222A.

3231 B. C. D. 2233

【解析】选A.如图所示:

因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,

则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,

所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成

角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=3. 2

4.（2017年3卷16）16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?；

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