§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

*例1 设D??(x,y)a?x?b,0?y??(x)?,L??(x,?(x))x?[a,b]?;2是GR中有界闭域, D?intG?G;f(x,y)是G上

可积函数. 则???0,存在顶点在L上的折线l,使得

??Df(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy??.?其中?是由x?a,x?b,y?0与折线l所围成的多边形.

数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

证设?(x,y)?G,f(x,y)?M.???0,令

????.2M(b?a)由于?在[a,b]上一致连续, 因此存在??0,使对?x?,x???[a,b],x??x????时,就有

?(x?)??(x??)???.取分割T:a?x0?x1???xn?b,使得

max?xi?xi?1:i?1,?,n???,数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

直线x?xi(i?1,2,?,n)将D分割为Di,i?1,?,n,又将?分割为?i,i?1,?,n.于是

??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdyD???i?1n??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdyDi?i???????f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy?i?1?Di\\?i??i\\Di??n??2M?ixi?xi?1?2M(b?a)????.i?1n数学分析第二十一章重积分高等教育出版社复习思考题

1.设函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积, 求证f(x,y)在D上有界.

2.设函数f(x,y)和g(x,y)定义在可求面积区域D

上, L是D内一条光滑曲线. 若?(x,y)?D?L,满足f(x,y)?g(x,y),试证f(x,y)在D上可积的充要

条件是g(x,y)在D 上可积.

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