§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

二重积分的性质

二重积分与定积分具有类似的性质, 现列举如下: 1.若f(x,y)在D上可积, k 为常数, 则kf(x,y)在D

上也可积, 且

??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?.DD2.若f(x,y),g(x,y)在D上都可积, 则f(x,y)?g(x,y)在D 上也可积,且

[f(x,y)?g(x,y)]d??f(x,y)d??g(x,y)d?.??????DDD数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

3.若f(x,y)在D1和D2上都可积, 且D1与D无公共

2内点, 则f(x,y)在D1?D2上也可积, 且

D1?D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.D1D24.若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积, 且

f(x,y)?g(x,y),(x,y)?D,则有

??D高等教育出版社f(x,y)d????g(x,y)d?.D数学分析第二十一章重积分§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

5.若f(x,y)在D 上可积, 则函数|f(x,y)|在D 上也可积, 且

??f(x,y)d????DDf(x,y)d?.6.若f(x,y)在D 上可积, 且

m?f(x,y)?M,(x,y)?D,则有

mSD???f(x,y)d??MSD,D这里SD是积分区域D 的面积.

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7.(积分中值定理) 若f(x,y)在有界闭域D 上连续,则存在(?,?)?D,使得

??Df(x,y)d??f(?,?)SD,积分中值定理的几何意义:在D 上, 以z?f(x,y)(f(x,y)?0)为顶的曲顶柱体体积, 等于一个同底

的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于f(x,y)在D 中某点(?,?)处的函数值f(?,?).数学分析第二十一章重积分高等教育出版社