§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

上面叙述的问题都可归为以下数学问题.

设D 为xy 平面上可求面积的有界闭域, f(x,y)为可求面积的小区域?1,?2,?,?n.定义在D上的函数. 用任意的曲线网把D 分成n 个

以??i表示小区域?i的面积, 这些小区域构成D 的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径, 称

||T||?maxdi1?i?n为T 的细度. 在每个?i上任取一点(?i,?i),作和式

?f(?,?)??iii?1ni.称它为函数f在D 上属于分割T 的一个积分和.

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定义2设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭域D上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数?,总存在某个正数?,使对于D 的任何分割T, 当它的细度||T||??时, 属于T 的所有积分和都n有?f(?i,?i)??i?J??,(4)i?1则称f(x,y)在D 上可积, 数J 称为函数f(x,y)在D 上二重积分, 记作J???f(x,y)d?,D(5)数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

其中f(x,y)称为二重积分的被积函数, x, y 称为积分变量, D 称为积分区域.

当f(x,y)?0时, 二重积分??f(x,y)d?在几何上

D就表示以z?f(x,y)为曲顶, D 为底的曲顶柱体的体积. 当f(x,y)?1时, 二重积分就等于积分区域D 的面积.

??Df(x,y)d?的值

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注1 由二重积分定义知道, 若f(x,y)在区域D 上可积, 则与定积分情形一样, 对任何分割T, 只要当||T||??时, (4) 式都成立. 因此为方便计算起见, 常

选取一些特殊的分割方法, 如选用平行于坐标轴的直线网来分割D, 则每一小网眼区域的?的面积????x?y.此时通常把??f(x,y)d?记作

D??Df(x,y)dxdy.(6)数学分析第二十一章重积分高等教育出版社