数学分析第二十一章重积分二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多.§1 二重积分概念一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质*点击以上标题可直接前往对应内容§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

平面图形的面积

我们首先定义平面图形的面积.

我们称平面图形P 是有界的,如果存在一矩形R , 使得P?R.设P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一组直线网T 分割这个图形(图21-1) , 这时直线网T

?i可分为三类: 的网眼(小闭矩形)

(i)?i上的点都是P 的内点;

(ii)?i上的点都是P 的外点, 即?i?P??;(iii)?i上含有P 的边界点.

数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

将所有属于第(i) 类小矩形(图21-1 中紫色部分)的面积加起来,记这个和数为sP(T),则有sP(T)??R(这

yPO图21?1x里?R表示包含P 的那个矩

形R 的面积); 将所有第(i) 类与第(iii) 类小矩形的面积加起来(图21-1中除青色部分),记这个和数为SP(T),则有sP(T)?SP(T).数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

由确界存在定理可以推得, 对于平面上所有直线网, 数集{sP(T)}有上确界, {SP(T)}有下确界. 记

IP?sup{sP(T)},IP?inf{SP(T)},显然有

TT0?IP?IP.(1)通常称IP为P 的内面积, IP为P 的外面积.

定义1若平面图形P 满足IP=IP, 则称P 为可求面积的图形,并把共同值IP?IP?IP作为P 的面积.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社