徐汇

答案 闵行 25．（1）证明：∵ PB⊥AM，PC⊥AN，∴ ∠PBA =∠PCA = 90°．…………（1分）

在四边形ABPC中，

∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°， ………………………（1分） ∴ ∠BAC +∠BPC = 180°． ………………………………………（1分） 又∵ ∠BPD +∠BPC = 180°，

∴ ∠BAC =∠BPD． ………………………………………………（1分）

（2）解：由 BE⊥AP，∠D = 90°，BE = BD，

得 ∠BPD =∠BPE．即得 ∠BPE =∠BAC． ……………………（1分） 在Rt△ABP中，由 ∠ABP = 90°，BE⊥AP，得 ∠APB =∠ABE．

即得 ∠BAC =∠ABE．………………………………………………（1分）

∴ sin?BAC?sin?ABE?又∵ AB?210， ∴ AE?∴ BE?3101分） ?210?．…………………………………………（610A2B?AE310． ?AB10 ………………………（1分） A2E?(2102)?26?．2∴ BD = 2． …………………………………………………………（1分）

（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH // BD．

设BD = 2a，PC = 2b，则 CD = 2a + 2b．

在Rt△ABG和Rt△BDP中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°， 得 BG = AG，DP = BD．

∵ QH // BD，点Q为BP的中点．

PHPQ∴ ??1．即得 PH = a．

DHBQ1BD?，aCH = PH + PC = a + 2b．……………………（1分） 2又∵ BD // AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴ BG = DC = 2a + 2b． 即得 AC = 4a +2b．

由 BE // QC，BE⊥AP，得 ∠CQP =∠BEP = 90°． 又由 ∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠PAC． ∴ △ACP∽△QCH．

2b4a?2bPCAC∴ ．即得 ． ??aa?2bQHHC∴ QH?解得 a = b．……………………………………………………………（1分）

∴ CH = 3a．

∴ CQ?QH2?HC2?10a．……………………………………（1分） 又∵ ∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF，

HCQC∴ △QCH∽△PFC．∴ ?．

CFPC3a10a310即得 ．解得 FC?．…………………………（1分） ?aFC2a5310a?5又∵ BE // QC，Q是PB的中点，

PFPQ∴ ??1．即得 PE = EF．

EFBQ∴ QF?QC?FC?10a?210a． 5于是，△PQF与△CEF面积之比等于高之比，

S?PQFQF2??．…………………………………………………（1分） 即

S?CEFFC3 宝山

25. （1）过点O作ON║BC交AM于点N， ……………………1分

AB是圆O的直径，

ONAO1?? ……………………1分 BMAB2ONON1?? ……………………1分 CMBM2点M为弦BC的中点

OE:CE=OE:CE=1：2 ……………………1分 （2）点M为弦BC的中点 OM⊥BC ……………………1分

AM⊥OC于点E ∠OME=∠MCE △OME∽△MCE ……………………1分

ME2?OE?CE 设OE=x，则CE=2x， ME=2x ……………………1分

在直角△MCE中，CM??ECM?6x， sin3 ……………………1分 3sin?ABC?3 3（2）过点D作DL⊥BO于点L，AB=10，AB：BC=5：4，BC=8， ……………1分

设BD=x，则CD=8?x，BL=DL=

5447x，CH=(8?x)，OH=CO?CH?x? 855547x?OHFOy5?? 5 ……………………1分

55LDFLxy?5?x88 y?20x?3577 （其中?x?） ……………………1+1分 742以O为圆心，OF为半径的圆经过D OC垂直平分DF，FO=OL，y?5?

5x ……………………1分 820x?355112?5?x， x? ……………………1分 7819 此 崇明

（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题满分各4分，第(3)小题满分6分） 解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC ∴∠B＝∠C

∵∠EFC=∠B＋∠BEF＝=∠EFG＋∠GFC，∠EFG＝∠B

∴∠GFC＝∠FEB ……………………………………………………………（1分） ∴△EBF∽△FCG ……………………………………………………………（1分） ∴

BD?112时． 19EBBF2x，∴? ………………………………………………（1分） ?12?xyFCCG1∴ y??x2?6x………………………………………………………………（1分）

2自变量x的取值范围为：0?x?6?25或6?25?x?12……………（1分） （2）当0?x?12时，无论点G在线段CD上，还是在CD的延长线上，都有

1y??x2?6x

2 ①当⊙B与⊙C外切时， BF＋CG＝BC

1∴x?x2?6x?12，解得x＝2或x＝12（舍去） ………………………（2分）

2②当⊙B与⊙C内切时， CG－BF＝BC

1∴?x2?6x?x?12，解得x＝4或x＝6 ……… …… ……………………（2分）

2综上所述，当⊙B与⊙C相切时，线段BF的长为：2或4或6

512

（3）当△FCG为等腰三角形时，线段BF的长为：3或2或5 ………………（6分）