垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点
的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，
使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可． （2）直线l的方程可设为
，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通
过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用
，求得m=﹣1．推出结果即可．
【解答】解：（1）由题意得
∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵∴点M的轨迹C的方程为（2）直线l的方程可设为
．
，设A（x1，y1），B（x2，y2），
，
，
联立可得9（1+2k）x+12kx﹣16=0．
22
由求根公式化简整理得，
即
假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则
．
∵
，
==
=．
∴求得m=﹣1．
因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．
21．已知函数h（x）=（x﹣a）ex+a． （1）若x∈，求函数h（x）的最小值；
（2）当a=3时，若对?x1∈，?x2∈，使得h（x1）≥x2﹣2bx2﹣ae+e+围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值． （2）令
，“对?
x1∈，?
x2∈，使得
2
成立，求b的范
成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的
最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．
【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．
当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e+a递增，h（x）的最小值为
．
x
当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e
a﹣1
+a．
当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．
综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣ea﹣1+a． （2）令
，
成立”
，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，
由题可知“对?x1∈，?x2∈，使得
等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”． 即h（x）min≥f（x）min．
由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3． 当a=3时，
，x∈，
①当b≤1时，由
②当1＜b＜2时，由
③当b≥2时，由
综上，b的取值范围是
得
． ．
得得
，
，与b≤1矛盾，舍去．
，
，与1＜b＜2矛盾，舍去．
，
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0． （1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．
【解答】解：（1）由ρsinθ﹣2cosθ=0，得ρsinθ=2ρcosθ． ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；
（2）将直线l的参数方程代入y=2x，得tsinθ﹣2tcosθ﹣1=0． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则
，
，
2
2
2
2
2
2
，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标
==．
当
时，|AB|的最小值为2．
23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．
（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可； （2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1），
当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3， 所以﹣3≤f（x）≤3， ∴m≥﹣3；
（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0， 即﹣f（x）≥x﹣8x+15由（1）可知，
当x≤2时，﹣f（x）≥x﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣10x+22≤0，∴
2
2
2
；
当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6； 综上，原不等式的解集为
．
2