E = 0，（r < R1）．

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl，穿过高斯面的电通量为

?e???E?dS??EdS?E2?rl，

SS根据高斯定理Φe = q/ε0，所以

E??， (R < r < R)．

12

2??0r（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E = 0，（r > R2）．

12．9 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内

S1 E 外各点的场强．

E [解答]方法一：高斯定理法．

S1 （1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且S0 d 2r S0 对称于中心面：E = E`．

S2 在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下 两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 E` S2 E` ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS

?S?S1?S2?S0 ?ES?E`S?0?2ES，

高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①

（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，

高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =ρV = ρSd， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ②

方法二：场强迭加法．

（1）由于平板的可视很多薄板迭而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为 E1 y dζ = ρdy，

产生的场强为 dE1 = dζ/2ε0，

r dy 积分得

d rE2 o ?dy?dE1??(r?)，③ ?d/2d/2?2?02?02 同理，上面板产生的场强为

E2??r?dy?d?(?r)，④ 2?02?02r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0．

（2）在公式③和④中，令r = d/2，得

E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0， E就是平板表面的场强．

平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场迭加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．

12．10 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`

R 明小球空腔内的电场为匀强电场．

[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球R` O a O` 体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加．

图12.10