求证：平面PBC?平面PBD；求三棱锥P—EFB的体积．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．6

14．；

15．②⑤ 16．939

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）根据题意及各边和面的关系，可得PA?BD和BD?AC，因而BD?面PAC，又因为BD?面 PBD，则面PAC?面PBD。（2）根据平面AMC把四面体分成体积相等的两个部分可知，M为PB中点，根据各边可求得SABCD，进而求得VP?ABCD和VM?ABCD，由VM?PAB?VP?ABCD?VM?ABCD可得解。 【详解】

（1）证明：因为?BAP?90?，则PA?AB，

23 3又侧面PAB?底面ABCD，

面PAB?面ABCD?AB，PA?面PAB， 则PA?面ABCD

BD?面ABCD，则PA?BD

又因为?BCD?120o，ABCD为平行四边形， 则?ABC?60o，又AB?AC

则?ABC为等边三角形，则ABCD为菱形， 则BD?AC

又PA?AC?A，则BD?面PAC，

BD?面PBD，则面PAC?面PBD

（2）由平面AMC把四面体P?ACD分成体积相等的两部分，则M为PB中点 由AB?AC?2，?BCD?120?，得BD?23 由?I?知ABCD为菱形，则SABCD?1?23?2?23 21143 ?SABCD?PA??23?2?333又由?I?知PA?面ABCD，则VP?ABCD?则VM?ABCD?1123 ?SABCD?d??23?1?33323 3则VM?PAB?VP?ABCD?VM?ABCD?【点睛】

本题考查了空间几何体面面垂直的证明，不规则结构体体积的求法，属于中档题。 18．（1）【解析】 【分析】

（1）根据已知条件可知

等于点到直线

的距离，由抛物线定义可得轨迹方程；（2）由

三点

；（2）4，

.

共线，可根据向量坐标运算得到；根据抛物线定义可求得，利用基本不等式求得最

小值；再根据最值成立条件求得点坐标，从而可求得直线斜率. 【详解】

（1）由题知：点到的距离

等于到直线由抛物线的定义可知： 点的轨迹是以为焦点，以

为准线的抛物线

的距离

等于到轴的距离加

所以动点的轨迹的方程为：（2）设

，

三点共线

，整理得：

由抛物线的定义得：由基本不等式：当且仅当又

或

所以【点睛】

时等号成立，即

，

，与

，即

或

成立

共线

的最小值为，此时直线的斜率为

本题考查利用抛物线定义求解轨迹方程，直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解决最值问题的关键是能够求解出积的定值，从而使问题转化为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出和的最小值.

?a?（2）a≥﹣2 19．（1）?，【解析】 【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可； （2）问题等价于a?lnx?调性求出a的范围即可． 【详解】

解（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a） 由f'（x）＜0且a＜0得：＜x＜?a

?a?3??3x13x1??在x∈（0，+∞）上恒成立，令h?x??lnx?，根据函数的单22x22xa3?a??a? ∴函数f（x）的单调减区间为?，?3?（2）依题意x∈（0，+∞）时，不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立，

3x1?在x∈（0，+∞）上恒成立． 22x3x1? 令h?x??lnx?22x等价于a?lnx?则h'?x???3x?1??x?1?x＞0 131??2????x22x2x2当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减 ∴当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2 故a≥﹣2 【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 20．（1）1；（2）-3≤m≤1 【解析】 【分析】

（1）结合条件构造均值定理的结构形式，利用均值定理求解最小值； （2）根据第（1）问可得【详解】

（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4， ∴

1111+的最小值，求|x+m|?|x?2|的最大值小于等于+的最小值. abab111111ba1ba+=（+）?（a+b）=（2++）≥（2+2?）=1，

44ab4ababab11+的最小值为1； ab当且仅当a=b=2时取“=”；∴

（2）若|x+m|?|x-2|≤

11+对任意的实数x恒成立， ab则|x+m|?|x-2|≤(?)min对任意的实数x恒成立， 即|x+m|?|x-2|≤1对任意的实数x恒成立； ∵|x+m|?|x-2|≤|（x+m）?（x-2）|=|m+2|， 即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得?3≤m≤?1， ∴m的取值范围是?3≤m≤?1． 【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式的解法和利用均值定理求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.

1a1bx2y221．（1）（2）4 ??1；

259【解析】 【分析】

（1）利用椭圆的焦点坐标得到c，利用椭圆的定义得到a，利用b?a2?c2求得b，由此求得椭圆的方程.（2）利用F2A，F2B，F2C成等差数列列出方程，将F2,A,B,C的坐标代入，可求得x1?x2的值，