高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数

考点一：指数与指数幂的运算

一．【基础知识回顾】

1.方根的定义：如果一个数的n次方等于a（n?1,且n?N?）,那么这个数叫做 ，即如果xn?a，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根表示为 ，当n是偶数时，正数的n次方根有 个，这时正数a的正的n次方根表示为 ，负的n次方根表示为 ，0的 方根都是0；根式na中n叫做 ，a叫做 .

2.根式的性质：⑴(na)n?

⑵当n是奇数时，

nnan= ，当n是偶数时，

an= ，

(3)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 .

3.幂的有关概念：（1）正整数指数幂：an表示 ；

（2）零指数幂a0= ，（a?0）；

（3）负整数指数幂：a?p? （a?0,p?N?）;

(4)正分数指数幂：a? （a?0,m,n?N?，且n?1）；

mn（5）负分数指数幂：a?mn? （a?0,m,n?N?，且n?1）；

（6）0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 .

注意：分数指数幂不能随便约分化简，如a不能写成a，必须认真考查a的取值才能确定.

24124.幂的运算法则：a?0,b?0,r,s?R；⑴ar?as? ；⑵(ar)s? ；⑶(a?b)r?

二．【范例分析】

例1化简：（1）

3??8?3= （2）

=

?a?b?2?a?b?变式:化简1.(e3?e?3)2?4?(e3?e?3)2?4?

例2化简：（1）100= （2）?1?2?16??= ?81??34例3化简：(8)?23?(10329)2?105=

例4已知x?x?1?3，求下列各式的值： （1）x?x；（2）x?x. 考点二：指数函数及其性质

12?1232?32一．【基础知识回顾】

1.指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的

定义域为 .

2.指数函数的图象和性质：

图 象 定义域 值域 性 过定点 质 单调性 在R上是 函数 在R上是 函数 底数越大，图像在第一象限底数越小，图像在第二象 越 限越 靠近 轴 靠近 轴 当x?(??,0)时，y? 当x?(??,0)时，y? 当x?(0,??)时，y? 当x?(0,??)时，y? 3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系：af(x)?ag(x)? ；

0?a?1时af(x)?ag(x)? ；a?1时af(x)?ag(x)? ；

二．【范例分析】

例1：说明下列函数的图象与y?2x的图象的关系，并画出它们的示意图：

⑴y?2x?1 ⑵y?2x-2

例3：比较大小：①1.72.5 1.73 ②0.8-0.1 0.8-0.2 ③1.70.3 0.93.1

例4：求下列函数的定义域和值域：

⑴y?21x?42x?112x?x2 ⑵y?() ⑶y?x

2?12例5：函数y?4?ax?1（a?0，且a?1）的图象一定恒过定点

例6：已知f(x)?2x2x?2，则f()?f()???f()?

110210910