第一章 原子的基本状况

1.1 若卢瑟福散射用的?粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68?106电子伏特。散射物质是原子序数Z?79的金箔。试问散射角??150?所对应的瞄准距离b多大？

解：根据卢瑟福散射公式，

ctg得到：

?2?4??0K?Mv2b?4??b 0222ZeZe?Ze2ctg?79?(1.60?10?19)2ctg1509?1522b??9?10??3.97?10m

4??0K?7.68?106?1.6?10?192式中K??1是?粒子的功能。 Mv2

1.2已知散射角为?的?粒子与散射核的最短距离为

rm2Ze21?()(1?) ，试问上题?粒子与散射的金原子核之间的最短距离2?4??0Mvsin21rm多大？

解：将1.1题中各量代入rm的表达式，得：rmin92Ze21?()(1?)2? 4??0Mvsin212?79?(1.60?10?19)21?9?10??(1?)6?19? 2?7.68?10?1.60?10sin75?3.01?10?14m

1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个?e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180?。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

Ze21Ze22Mv?Kp?，故有：rmin?

4??0Kp24??0rmin79?(1.60?10?19)2?13?9?10??1.14?10m 6?1910?1.60?10由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量和相同电荷的氘核代替质子时，其与靶

9核作用的最小距离仍为1.14?10?13m。

1.4 钋放射的一种?粒子的速度为1.597?107米/秒，正面垂直入射于厚度为10?7米、密度为1.932?104公斤/米3的金箔。试求所有散射在??90?的?粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。

解：单位体积中的金原子数：N??/mAu??N0/AAu.由散射公式可得百分比为：

???dn?n18090?(14??0)2?N0AAuZe22d? ?t?()2?Mvsin42??N0AAu?t?(14??0)2?(2Ze2180?2d? )?90?2?Mvsin322cos?180等式右边的积分：I??90??cossin3??2d??2?180?90?22dsinsin3?2?1

?2带入相关数值：Z?79,N0?6.02?1023,Aau?197?10?3,v?1.597?107,??1.932?104,t?10?7

???N0AAu2Ze22?t?()?() 24??0Mv100

即散射角大于90?以上的粒子数大约占全部粒子数的8.5?10?400。

（??15?）1.5 ?粒子散射实验的数据在散射角很小时与理论值差得较远，时什么原因？

答：?粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而?粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上是多次散射。因为一张合用的金属箔也有几百至几千个原子层厚。但由于原子核很小，核间空间很大，因此?粒子通过时，多次很接近原子核的机会并不大，只有瞄准距小时，散射角才大。实际观察到较大的?角，可以设想是一次大角散射和多次小角散射合成的。但多次小角散射左右上下各方向都有可能，合并起来会抵消一部分，因此有大角散射时，小角散射可以不计。一次散射理论是合理的。至于实际观察到的较小的散射角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，?粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知?粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

???证明：设碰撞前、后?粒子与电子的速度分别为：v?,v?',0,ve'。根据动量守恒定律和能量守恒定律得：

?8.56?10?6?8.56?10?4??'?'Mv??Mv??mve （1） 1112'2'2Mv??Mv??mve （2） 222??'m?'1?'v?v?v?ve ?? (3) 由（1）得： ??eM7300m'22'2v?v?ve (4) 由（2）得： ??M将（3）式代入（4）式，得：

v??v?2'2??'2?7300(v??v?)2

20o 2''(7300?1)?v?(7300?1)?2?7300v?v?cos??0 整理，得：v?60° ??'?v??v??0

即?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

t,

t 60o 1.7能量为3.5兆电子伏特的细?粒子束射到单位面积上质量为1.05?10?2公斤/米2的银箔上，?粒子与银箔表面成60?角。图1.1 在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0?10?5米2的计数器。测得散

射进此窗口的?粒子是全部入射?粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。

解：设靶厚度为t'。非垂直入射时引起?粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度t'，而

是t?t'/sin60?，如图1-1所示。

因为散射到?与??d?之间d?立体角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：

dn?Ntd? (1) n而d?为：

ze22d??()()4??0Mv212d?sin4? （2）

2把（2）式代入（1）式，得：

dn12ze22d??Nt()()??（3） n4??0Mv24?sin2?5'0'0式中立体角元d??ds/L2?6.0?102,t?t/sin60?2t/3,??20 (0.12)?N0。 N为原子密度,N?AddnZe2?(sin4(4??0)2(Mv)2/(Nnt))1/2

d?将各量代入上式，得：Z=47.

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为10?10米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于900的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：利用高斯定理，对于电荷均匀分布的球体（半径R），电场为：

?1Zer?R?4??r2?0 E??

?1Zerr?R3?4??R0??Eb1(E?Mv2) 当b?R时，由卢瑟福公式 ctg?4??022Ze2得 ??8' 这种情况只能得很小的散射角。

当b?R时，库伦斥力随r减小而线性减小。这时散射角公式中核电荷Ze要用有效电荷代替，

?EbER31ctg?4??0233?4??022(E?Mv2)

2Zeb/RZeb2?将小于8'。

?b?0 时，ctg?0，??0

2可见汤姆逊模型不管在什么情况下，都不可能产生大于90度的散射角。

第二章 原子的能级和辐射

2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即n=1。根据量子化条件，

p??mvr?n可得：频率 ??h r?a1?0.529?10?10m 2?vnhh15?1??22?6.56?10s 2?a12?ma12?ma16速度：v?2?a1??h/ma1?2.188?10m/s

加速度：w?v2/a1?8.98?1022m/s2

2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为Ei?E??E1，把氢原子的能级公式En??Rhc/n2代入，得：

11Ei?RHhc(2?)?Rhc=13.60eV。

?1Ei?13.60V e第一激发能为将电子从n=1的能级激发到n=2的能级上所需要的能量：

电离电势：Vi?1133Ei?RHhc(2?2)?Rhc??13.60?10.20eV

4412E1?10.20V e2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：由氢原子能级公式：E??hcRH/n2得：

第一激发电势：V1?E1??13.6eV，E2??3.4eV，E3??1.51eV，E4??0.85eV

可见，具有12.5电子伏特能量的电子只能激发H原子至n?3的能级。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

?111?RH(2?2)?5RH/36??1?6563A ?123?113?RH(2?2)?RH??2?1215A?21241?118?RH(2?2)?RH??3?1025.7A?31392.4 试估算一次电离的氦离子He?、二次电离的锂离子L?电离电势、第一激发i的第一玻尔轨道半径、

1

电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响。

4??0h2n2n2?a1,n?1,2,3?? a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：r?224?mZeZrLi??rHe?ZHZ11????,?H?； 对于H,Z?1；对于He,Z?2；对于Li，Z?3；?rHZH?2rHZLi??3eb) 氢和类氢离子的能量公式：

2?2me4Z2Z2E???E1?2,n?1,2,3?? 222(4??0)nhn电离能之比：