ri(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?in。
x(a) 证明 (b) 如果?(k)(k?1)i?x(k)iri(k?1)?ai；
?x(k)?x?，其中x?是方程组的精确解，求证：
?ri其中 (c) 设A是对称的，二次型
(k?1)i?1(k?1)i??(k)iri(k?1)?aii
??aij?j?1(k?1)j??aij?i(k)j?in。
Q(?(k))?(A?(k),?(k))
Q(?(k?1))?Q(?(k))???j?1n(rj(k?1))2ajj。
(0)证明
(d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向量x敛的，则A是正定阵。
13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组
是收
Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,
nz,z,d,d?R1212其中。
(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件
(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m)(m?0);
(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件
(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?1)(m?0);
比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵
?1aa??A??a1a????aa1??
111?a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2??51?02A???3?1??0315. 设3?04??2?1??07?，试说明A为可约矩阵。
(k?1)216. 给定迭代过程，x?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的特征值
?i(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。
17. 画出SOR迭代法的框图。
18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；
T2cond(AA)?(cond(A))22(b) 求证。
T
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算
1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：
3?2??7?3?43????463?A1??34?1A?2??????31???2?13?? , (b) ?3?, (a)
当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵T分块形式为
?T11T12?T1n???T?T222n?T???????Tnn?, ?其中Tii(i?1,2,?,n)为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用?(T)记矩阵T的特征值集合，证明
?(T)???(Tii).i?1n
3. 利用反幂法求矩阵
?621??231?????111??
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 4. 求矩阵
?400??031?????013??
与特征值4对应的特征向量。 5. 用雅可比方法计算
?1.01.00.5??A??1.01.00.25????0.50.252.0??
的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。
6. (a)设A是对称矩阵，λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为一个正交阵，使
Px?e1?(1,0,?,0)T
证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 (b)对于矩阵
T?2102??A??105?8????2?811??,
?212?x??,,??333?是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px?e1，并计算λ=9是其特征值，
TB?PAPT。
7. 利用初等反射阵将
?134??A??312????421??
正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设A?Rn?n(2)a?0的平面旋转阵，试推导计算PijA第i行，第j行元a,aPiji1j1，且不全为零，为使j1TAPij素公式及第i列，第j列元素的计算公式。
9. 设An?1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是An?1的一个特征向量。
1P2?Pn?2y； (a)证明矩阵A对应的特征向量是x?P(b)对于给出的y应如何计算x？ 10. 用带位移的QR方法计算
?120??310???121?A??2?11B????????013??, (b) ?011?? (a)
全部特征值。
11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵，
1??11?A??2?1?1????2?45??。
数值分析习题简答
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
第一章 绪论习题参考答案
?(x*)1． ε（lnx）≈
nxn*??r(x*)??。
n?1?r(x)?2．
?(x)x*n?nx*?(x*)nx*n?(x*)??0.02n*x。
*****xxxxx123453． 有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字，有
2位有效数字。
******?4?3?3?3?(x?x?x)??(x)??(x)??(x)?0.5?10?0.5?10?0.5?10?1.05?101241244．
************?(x1x2x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)?x1x2?(x3)?0.214790825**x2x21**?(*)?*?(x2)?*2?(x4)?8.855668?10?6x4x4x4。
?r(R)??r(35．
3V)?4?31?(V)/236?V33V1?(V)1???r(V)?0.0033334?3V3。
6．
?(Y100)?100?111??10?3??10?310022。
7． x1?28?783?55.982，
x2?28?783?128?783?1?0.0178655.982。
8．
???N1?dx??arctgN1?x22
1?1?(x)??(S)?S2?(S)?0.00529． 。
10．
gt?(t)2?(t)0.2?r(S)???12ttgt?(S)?gt?(t)?0.1gt，2，故t增加时S的绝对误差增
加，相对误差减小。
11． 12．
?(y10)?1010?(y0)??10812，计算过程不稳定。
62?1.4，则f1?(2?1)?0.004096，
f?(2?1)6?0.005051，如果令