12. 用高斯－约当方法求A的逆阵：
?2?3A????1??113. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中
1?3120?1?07??4?2???15?
?2?1000??1???12?100??0?????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0????000?12???0??
14. 用改进的平方根法解方程组
?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6??
15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546??
16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组
?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??.
17. 如果方阵A 有
aij?0(|i?j|?t)，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推
导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n.
uri?ari?1）
rkkik?max(1,i?t)r?1?lr?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))；
lir?(air?2）18. 设
ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr (i?r?1,?,min(n,r?t)).
?0.60.5?A????0.10.3?，
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证
(a) ||x||??||x||1?n||x||?，
1(b)
n||A||F?||A||2?c2||A||F。
20. 设 P?Rn?nn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义
||x||p?||Px||。
试证明
||x||p是Rn上的一种向量范数。
n?n21. 设A?R为对称正定阵，定义
||x||A?(Ax,x)1/2，
n试证明||x||A为R上向量的一种范数。 nTx?R,x?(xx,?,x)12n22. 设，求证
lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。
Tx23. 证明：当且尽当x和y线性相关且y?0时，才有
||x?y||2?||x||2?||y||2。
24. 分别描述R中（画图）
2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。
25. 令
?是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数||x||??||Px||，
?1证明||A||??||PAP||。
n?nn?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切A?R满足
c1||A||s?||A||t?c2||A||s
27. 设A?Rn?nTT，求证AA与AA特征值相等，即求证?(AA)??(AA)。
TT28. 设A为非奇异矩阵，求证
1||A?1||?29. 设A为非奇异矩阵，且||A?1?miny?0||A||?||y||?。
||||?A||?1，求证(A??A)?1存在且有估计
||?A||||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A||
cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数，成为
?2?A???1??1??。
证明当
???23时，cond(A)?有最小值。
1/2TTT31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?DL，求证
(a) cond(A)2?[cond(?)2]; (b) cond(A2)?cond(?)2cond(?)2. 32. 设
T2?10099?A????9998?
计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?) 33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且
?为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB)?cond(A)cond(B)。
第八章 解方程组的迭代法
1. 设方程组
?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1
(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当||x(k?1)?x(k)||??10?4时迭代终止．
?00?A???20??, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设
3. 证明对于任意选择的A, 序列
111I,A,A2,A3,A4,?23!4!
收敛于零． ４. 设方程组
?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0);
迭代公式为
1?(k)(k?1)x?(b1?a12x2);?1a?11??x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22? (k?1,2,?).
求证: 由上述迭代公式产生的向量序列{x(k)}收敛的充要条件是
r?a12a21?1.a11a22
5. 设方程组
?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?(a) ?0.4x1?0.8x2?x3?3 (b)
limAk?A?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证k??的充要条件是对任何向量x，都有
limAkx?Ax.k??
7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组
111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径； (b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； (c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）
?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?2
11x??(,1,?)T,?(k)?622要求当||x?x||??5?10时迭代终止，精确解并且对每一个?值确定迭代次
数。
10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）
?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1
(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。
11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式
x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)
0???试证明当
2?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。
(k?1)12. 用高斯－塞德尔方法解Ax?b，用xi记x(k?1)的第i个分量，且