全国2008年4月自考离散数学试题

课程代码：02324

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化．为（ ） A.?P∧Q B.?P→Q C.?P→?Q D.P→?Q 2.下列命题联结词集合中，是最小联结词组的是（ ） A.{?， } B.{?，∨，∧} C.{?，∧} D.{∧，→} 3.下列命题为假命题的是（ ） ．

A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一 B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一 C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一 D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一

4.谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x))中变元x是（ ） A.自由变元 B.约束变元 C.既不是自由变元也不是约束变元 D.既是自由变元也是约束变元 5.若个体域为整数减，下列公式中值为真的是（ ） A.?x?y(x+y=0) B.?y?x(x+y=0) C.?x?y(x+y=0) D.??x?y(x+y=0) 6.下列命题中不正确的是（ ） ．A.x∈{x}-{{x}} B.{x}?{x}-{{x}} C.A={x}∪x,则x∈A且x?A D.A-B=??A=B

7.设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（ ） A.P?Q B.P?Q C.Q?P D.Q=P 8.下列表达式中不成立的是（ ） ．A.A∪(B?C)=(A∪B) ? (A∪C) B.A∩(B?C)=(A∩B) ? (A∩C) C.(A?B)×C=(A×C) ? (B×C) D.(A-B) ×C=(A×C)-(B×C) 9.半群、群及独异点的关系是（ ） A.{群}?{独异点}?{半群} B.{独异点}?{半群}?{群} C.{独异点}?{群}?{半群} D.{半群}?{群}?{独异点} 10.下列集合对所给的二元运算封闭的是（ ） A.正整数集上的减法运算

B.在正实数的集R+上规定?为a?b=ab-a-b ?a,b∈R+ C.正整数集Z+上的二元运算?为x?y=min(x,y) ?x,y∈Z+

×

D.全体n×n实可逆矩阵集合Rnn上的矩阵加法

第 1 页

11.设集合A={1，2，3}，下列关系R中不是等价关系的是（ ） ．A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>} C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}

D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 12.下列函数中为双射的是（ ） A.f：Z→Z,f(j)=j(mod)

?1,j是奇数B.f：N→N,f(j)=?

0,j是偶数?C.f：Z→N,f(j)=|2j|+1 D.f：R→R,f(r)=2r-15

13.设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（ ） A.R={,,,} B.R={,} C.R={,,,} D.R={} 14.含有5个结点，3条边的不同构的简单图有（ ） ．

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

15.设D的结点数大于1，D=是强连通图，当且仅当（ ） A.D中至少有一条通路 B.D中至少有一条回路 C.D中有通过每个结点至少一次的通路 D.D中有通过每个结点至少一次的回路 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

16.设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A?A=___________，A?B=___________。 17.设A={1,2,3,4,5}，R?A×A，R={<1,2>，<3,4>,<2,2>}，则R的自反闭包r(R)=__________。

对称闭包t(R)=__________。

18.设P、Q为两个命题，德摩根律可表示为_____________，吸收律可表示为____________。 19.对于公式?x(P(x)∨Q(x))，其中P(x)∶x=1,Q(x)∶x=2,当论域为{1,2}时，其真值为

_____________ ,当论域为{0,1,2}时，其真值为_____________。

20.设f∶R→R,f(x)=x+3,g∶R→R,g(x)=2x+1,则复合函数(f?g)(x)?____________,

(g?f)(x)?__________________。 21.3个结点可构成_________个不同构的简单无向图，可构成________个不同构的简单有向

图。

22.无向图G=如左所示，则G的最大度

Δ(G)=_____________，G的最小度δ(G)=_____________。 ?0?123.设图G,V={v1,v2,v3,v4},若G的邻接矩阵A???1??1101?011??，则deg-(v1)=_ ________, 100??000?deg+(v4)=____________。 24.格L是分配格，当且仅当L既不含有与_______同构的子格，也不含有与______同格的子

格。

25.给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定义两种关系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},

S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，则R?S?_______________，S?R?_______________。 三、计算题（本大题共5小题，第26、27题各5分，第28、29题各6分，第30题8分，

第 2 页

共30分）

26.设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪IA，画出R的关系图，并求出A中各元素的等价类。

27.构造命题公式?（P∨Q） （?P∧Q）的真值表。 28.求下列公式的主析取范式和主合取范式：P→（（Q→P）∧（?P∧Q））

29.设A={a, b, c, d, e}，R为A上的关系，R={，，, , ,, }∪IA，试画的哈斯图，并求A中的最大元，最小元，极大元，极小元。 30.给定图G如图所示，（1）G中长度为4的路有几条？其中有几条回路？（2）写出G的可达矩阵。

四、证明题（本大题共3小题，第31、32题各6分，第33题8分，共20分） 31.设（L，≤）是格，试证明：?a, b, c ∈L, 有a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）； a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。

32.设R是A上的自反和传递关系，如下定义A上的关系T，使得?x, y∈A，∈T? ∈R∧(y, x)∈R。

证明T是A上的等价关系。

33.设有G=, V的结点数|V|=n，称该图为n阶图，若从结点vi到vj存在路，证明从vi

到vj必存在长度小于等于n-1的一条路。

五、应用题（本大题共2小题，第34题7分，第35题8分，共15分） 34.构造下面推理的证明。

每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有

的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。

35.今要将6人分成3组（每组2个人）去完成3项任务。已知每个人至少与其余5个人中

的3个人能相互合作。

（1）能否使得每组的2个人都能相互合作？ （2）你能给出几种不同的分组方案？

第 3 页

第 4 页