解三角形

1、（2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于 ( )． ππππA. B. C. D. 34612

解析：在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0. ∴sin A＝

3

.又∵△ABC为锐角三角形， 2

π?π?∴A∈?0，?，∴A＝.

2?3?

2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sin C＝______. 解析：由余弦定理，得b＝a＋c－2accos B＝1＋32－82×

42×

2

24＝. 55

2

2

2

2

＝25，即b＝5. 2

所以sin C＝

c·sin B＝b 3、在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝( )． A．30° B．45° C．45°或135° 2322

解析：由正弦定理，得＝，

sin 60°sin C解得：sin C＝答案：B

4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝

( )．

2

2

D．60°

2

，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. 2

A．30° B．60° C．120° D．150°

解析：∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b，

b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋23bc3

∴cos A＝＝＝＝，

2bc2bc2bc2

又A为三角形的内角，∴A＝30°. 答案：A

5、(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

1

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，

得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. π

又B∈(0，π)，所以B＝.

4

12

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.

24由已知及余弦定理，得

π2222

4＝a＋c－2accos.又a＋c≥2ac，

44

故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．

2－2因此△ABC面积的最大值为2＋1.

6、(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值． 解 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1， 得2cosA＋3cos A－2＝0，

1π

即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝. 231133

(2)由S＝ bcsin A＝bc·＝bc＝53，得bc＝20.

2224又b＝5，所以c＝4.

由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos A＝25＋16－20＝21， 故a＝21.

又由正弦定理，得sin Bsin C＝sin A·sin A ＝

2

2

2

2

bacabc22035sinA＝×＝. a22147

7、（2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝7. 9

2

(1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值．

[规范解答] (1)由余弦定理b2

＝a2

＋c2

－2accos B， 得b2

＝(a＋c)2

－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝7

9

，

所以ac＝9，解得a＝3，c＝3(6分) (2)在△ABC中， sin B＝1－cos2

B＝

42

9

， (7分) 由正弦定理得sin A＝

asin Bb＝22

3

.(9分) 因为a＝c，所以A为锐角，所以cos A＝1－sin2

A＝13. (10分)

因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝102

27.

(12分)

8、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asin C－ccos A. (1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. 解 (1)由c＝3asin C－ccos A及正弦定理，得 3sin Asin C－cos A·sin C－sin C＝0，

由于sin C≠0，所以sin???

A－π?1

6??＝2，

又0

6

(2)△ABC的面积S＝1

2bcsin A＝3，故bc＝4.

而a2

＝b2

＋c2

－2bccos A，故b2

＋c2

＝8，解得b＝c＝2. 9．在△ABC中，若a2

－c2

＋b2

＝3ab，则C＝( )． A．30° B．45° C．60° D．120°

解析 由a2

－c2

＋b2

＝3ab，得cos C＝a2＋b2－c23ab3

2ab＝2ab＝2

，所以C＝30°.

答案 A

10．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为

3

2

，则BC的长为( )．

3

A.

3

B.3 C．23 D．2 2

1133222

解析 S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC＝AB＋AC－2AB·ACcos 60°

2222＝3，所以BC＝3. 答案 B

ππ

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )．

64A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1 解析 由正弦定理＝及已知条件得c＝22，

sin Bsin C12322＋6

又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.

22224112＋6

从而S△ABC＝bcsin A＝×2×22×＝3＋1.

224答案 B

12．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

解析 由正弦定理及已知条件可知sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin A，即sin(B＋C)＝sin A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin A＝sin A，又0＜A＜π，sin A＞0，∴sin A＝1，π

即A＝.

2答案 A

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

πa?π?解析 由题意知，sin B＋cos B＝2，所以2sin?B＋?＝2，所以B＝，根据正弦定理可知

4?4sin A?＝

221π

，可得＝，所以sin A＝，又a＜b，故A＝. sin Bsin Aπ26

sin

4

π 6

2

2

2

bcb答案

1

14．(2013·烟台一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，

4则sin B等于________．

4