?Q圆环的电流为 dI?JSdl?sin?d?
4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上
的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
?0?Qa2sin3?d??0?Qsin3?d?
dB?ez?ez?ez22322(b?d)8?(a2sin2??a2cos2?)328?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图
所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。
（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx；
（2）证明：在中点处dBxdx等于零；
（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bxdx2也等于零。 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex?0b2dI?0Ia22(a?z)
2232
?0NIb2(b?d4)2232（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为
??0NIb2??0NIb2 B?ex?2?2322232?2[b?(d?x)]??2(b?x)22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有
22dB3?NIbd23?NIbd2x00 ??2??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]3?0NIb2 ? 2252 题2.11图 dx2(b?x)2(b?x)
15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?222722522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx令 ，有 ??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24 故解得 d?b
2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线
与z轴重合，通过的电证明在第一象限内的磁 流为I。
?I 感应强度为 ， Bx??0? 4?a ?Ir 中?、r1和r2如题2.12图所示。By?0ln2 式
4?ar1 分为无数个宽度为dx?的细条解 将导体带划 dBx15?0NIbx（3） ??22272222 题 2.12图
带，每一细条带的电流dI?点P(x,y)处的磁场为
Idx?。由安培环路定理，可得位于x?处的细条带的电流dI在2a?0Idx??0dI?0Idx???2212 ?4?a[(x?x)?y]2?R4?aR?0Iydx? 则 dBx??dBsin???224?a[(x?x?)?y]?0I(x?x?)dx?
dBy?dBcos??4?a[(x?x?)2?y2]dB?所以
?x??x??0I Bx????arcta?n?22??4?a[(x?x)?y]4?ay???aa?0Iydx?a?a?
???a?x???a?x???0I?arctan?arctan???????4?a?yy??????x?a??x?a?? ?0I?arctan?arctan???????4?a??y??y???I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aa?0I(x?x?)dx?By???22?4?a[(x?x)?y]?a?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2
ln?8?a(x?a)2?y24?ar1?I?0ln[(x?x?)2?y2]8?aa??a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为
Fr?3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 44??0r式中?1??r,p1?，?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？
解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为
13(p1r)rp1E1?[?3]
4??0r5r所以p1与p2之间的相互作用能为
13(p1r)(p2r)p1p2We??p2E1??[?3]
4??0r5r因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则
p1r?p1rcos?1
题 2.13图
p2r?p2rcos?2
又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有
2 (r?p1)(r?p2)?rp1p2sin?1sin?2cos?
另一方面，利用矢量恒等式可得
(r?p1)(r?p2)?[(r?p1)?r]p2?r2(p1p2)?(rp1)(rp2)
因
[r2p1?(rp1)r]p2?此
1[(r?p1)(r?p2)?(rp1)(rp2)]?p1p2sin?1sin?2cos??p1p2cos?1cos?2 2rp1p2W?于是得到 e3(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 4??0r(p1p2)?故两偶极子之间的相互作用力为 Fr???We?rq??t?consp1p2d1(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)(3)? 4??0drr3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)
4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。
2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力
Fm。
解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?1?0I1 2?r直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12?I2ez?B1dz??e120??0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。
同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为 Fm21??Fm12?e122.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为
Fm??0I1I2(sec??1)
这里?是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流I1产生的磁场为
B1?e??0I1 2?r
圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为
?IIdFm?I2dl2?B1?dl2?ey012
2?x由题2.15图可知 dl2?(?exsin??ezcos?)ad?
x?d?acos?
2??0aI1I2F?(?ezsin??excos?)d?? 所以m?2?(d?acos?)0
题2.15图
?0aI1I22?cos??exd??2??(d?acos?)0?aII2?d2??ex012(??)??ex?0I1I2(sec??1)
2?aad2?a22.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
r?(p?)E?p?E。
解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?
(r?dl2)?qE(r?dl2)?(r?dl2)?qE(r?dl2)?
qr?[E(r?dldlqdldl2)?E(r?2)]?2dl?[E(r?2)?E(r?2)]
当dl??1时，有
E(r?dl2)?E(r)?(dl2??)E(r)
E(r?dl2)?E(r)?(dl2??)E(r)
故得到
T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)? r?(p?)E?p?E
题2.16 图