ex又 ??A?ey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22??xx所以 ??AdS?S???(e2yz?e2x)exz00zdxdy?8
故有
C?Adl?8????AdS
S2?1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。
解
C?Adl?C?xdx?xydy??Ay2?a4
?(?acos?sin??acos?sin?)d??242204?Ax?a4222 ??AdS??ez(?)ezdS??ydS???rsin?rd?dr???x?y4SSS001.17 证明：（1）（2）（3）其中R?exx?eyy?ezz，?(AR)?A。?R?3；??R?0；
A为一常矢量。
解 （1）?R?a2??x?y?z???3 ?x?y?zex（2） ??R?eyez????0
?x?y?zxyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则AR?Axx?Ayy?Azz，故
??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果?F?0，那么函数f(r)会有什么特点
?(AR)?ex呢？
解 在圆柱坐标系中，由 ?F?可得到
1d[rf(r)]?0 rdrC C为任意常数。 r1d2在球坐标系中，由 ?F?[rf(r)]?0 2rdrC
可得到 f(r)?r21.19 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P到点P2(8,2,?1)的线积分1(2,1,?1)f(r)?（1）沿抛物线x?y；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？ ?Edl：
解 （1）?Edl??Edx?Edy??ydx?xdy?
2
xyCCC222226yyd(2y)?2ydy??dy?14 ?11（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为
x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222故
C?Edl??ECxdx?Eydy??yd(6y?4)?(6y?4)dy??(12y?4)dy?14
11由此可见积分与路径无关，故是保守场。
1.20 求标量函数??x2yz的梯度及?在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex345定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 ?ey?ez505050?2?2?解 ???ex(xyz)?ey(xyz)?ez(x2yz)?
?x?y?zz ex2xyz?eyx2z?ezx2y
345故沿方向el?ex的方向导数为 ?ey?ez50505022 ?????e?6xyz?4xz?5xy
l?l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为
??361660112 ?????l50505050?A?A?x?x公式
r?? ?r ?z r 1.21 试采用与推导直角坐标中
?Ay?Az??相似的方法推导圆柱坐标下的?y?zx
o ? ?? z y
题1.21图
?A?A1?(rAr)???z。 r?rr???z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的
?A?表面的通量为
????z??z????z??z?r????zArr??r(r??r)drd?????zArrrdrd??
?(rAr)1?(rAr)?r???z??? ?rr?r[(r??r)Ar(r??r,?,z)?rAr(r,?,z)]???z?同理
r??rz??zr??rz??z?????rzr??r????A?????drdz???rzA??drdz?
?A????r???z??A?r????
[A?(r,????,z)?A?(r,?,z)]?r?z?r??r?????z????rAzz??zrdrd?????rAzzrdrd??
[Az(r,?,z??z)?Az(r,?,z)]r?r???z??Az?Ar?r???z?z?? ?z?z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为
1?(rAr)?A??AzΨ?Ψr?Ψ??Ψz?[??]??
r?rr???z?1?(rAr)?A??Az ???故得到圆柱坐标下的散度表达式 ??A?lim???0??r?rr???z222xyz1.22 方程u??2?2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 2abc2x2y2z
解 由于 ?u?ex?e?eyza2b2c2 ?u?2(x)2?(y)2?(z)2
a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 ?uxyzxyz?(ex2?ey2?ez2)(2)2?(2)2?(2)2 abcabc?u1.23 现有三个矢量A、B、C为
A?ersin?cos??e?cos?cos??e?sin?
n?B?erz2sin??e?z2cos??ez2rzsin? C?ex(3y2?2x)?eyx2?ez2z
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？
（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中
?A?1?21?1?A?(rA)?(sin?A)??r?r2?rrsin???rsin???1?21?1?(rsin?cos?)?(sin?cos?cos?)?(?sin?)? r2?rrsin???rsin???2cos?2sin?cos?cos?sin?cos?????0 rrsin?rrsin?
er1???A?2rsin??rArre????rA?rsin?e??? ??rsin?A?er1r2sin???rsin?cos?re????rcos?cos?rsin?e???0
???rsin?sin?故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；
在圆柱坐标系中
1?1?B??Bz
?B=(rBr)???r?rr???z
1?1?2?(rz2sin?)?(zcos?)?(2rzsin?)? r?rr???zz2sin?z2sin???2rsin??2rsin? rrerre?ezerre?ez??0 ?z2rzsin???B?1?r?rBr???rB??1???zr?rBzz2sin????rz2cos?故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
?Cx?Cy?Cz
?C=????x?y?z???(3y2?2x)?(x2)?(2z)?0?x?y?zex??C???x3y2?2xey??yx2ez??ez(2x?6y) ?z2z
故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为
?A?0，??A?0；
?B=2rsin?，??B?0；
?C?0，??C?ez(2x?6y)
1.24 利用直角坐标，证明
?(fA)?f?A?A?f
解 在直角坐标中
f?A?A?f?f(?Ax?Ay?Az?f?f?f??)?(Ax?Ay?Az)? ?x?y?z?x?y?z?Ay?A?A?f?f?f(fx?Ax)?(f?Ay)?(fz?Az)?
?x?x?y?y?z?z???(fAx)?(fAy)?(fAz)??(fA) ?x?y?z1.25 证明
?(A?H)?H??A?A??H
解 根据?算子的微分运算性质，有
?(A?H)??A(A?H)??H(A?H)
式中?A表示只对矢量A作微分运算，?H表示只对矢量H作微分运算。
由a(b?c)?c(a?b)，可得
?A(A?H)?H(?A?A)?H(??A)
同理 ?H(A?H)??A(?H?H)??A(??H) 故有 ?(A?H)?H??A?A??H
1.26 利用直角坐标，证明
??(fG)?f??G??f?G