n?x0n?yn?x)sinh()sin() (0?y?y0) aaa2ql?n?y01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?n?x?sin()sinh[(b?y)]sin() (y0?y?b)
aaa4.8 如题4.8图所示，在均匀电场E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。
解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0?sin(与感应电荷的电位?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以?(r,?)满足的边界条件为 ① y ② 由于
此是
可得
设
由条件①，有 到
故圆柱外的电位为
E0 a ?(a,?)?C ?(r,?)??Es?Cr(?? )0rco??(r,?)??E0rcos??A1r?1cos??C ?E0acos??A1a?1cos??C?C
A1?a2E0
o x
?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C
若选择导体圆柱表C?0。
导体圆柱外的电场则为
题4.8图
面为电位参考点，即?(a,?)?0，则
22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?2)E0cos??e?(?1?2)E0sin?
?rr??rr??(r,?)E0co?s 导体圆柱表面的电荷面密度为 ????0r?a?2?0?r4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。
解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为
?0(r,??)?E0x??Erco?s?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而感应电荷的电位0则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)的边界条件为
① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；
??1????2 ③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?0?r?r由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??A1rcos? (r?a)
?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)
带入条件③，有 A1a?A2a，??0E0??0A1???E0??aA2
?1?2???0???02E0， A2??aE0 ???0???02?E0rcos? (r?a) 所以 ?1(r,?)?????0由此解得 A1??y 0 b o U0 x
0 ?U0 题4.10图
???0a2?2(r,?)??[1?()]E0rcos? (r?a)
???0r4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位U0和?U0。求圆柱面内部的电位函数。
解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为
① ?(0,?)为有限值；
?U0?0?② ?(b,?)????U0??0?0????2?2????；
????3?23?2???2?由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?) (r?b)
n?1代入条件②，有 由此得到
?bn?1?n(Ansin??Bncno?s??)b?( ,)?23?21An?nb?2?1?(b,?)sinn?d??[?U0sinn?d???nb?00U0(1?cosn?)?bnn?U??0sinn?d?]??2U0,n?1,3,5,?nn?b???0，n?2,4,6,3?2
1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?20cosn?d??0U??0cosn?d?]?
n?3?2U0,U0n?3n??(?1)2n(sin?sin)?n?b?bnn?22?0，?n?1,3,5,n?2,4,6,
n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?] (r?b) 故 ?(r,?)???n?1,3,5,nb4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线r0(r0?a)处，有一与圆柱平行的线电荷ql，计算空间各部分的电位。
解 在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电
2U0?荷ql的电位为 ?l(r,?)??（1）
y ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos?
而极化电荷的电位?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函
a ? o ?0 ql 数。介质圆柱内外的电位?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为
,为有限值；) ① ?1(0?r0 x
??(,?)r?(? )② ?2(r,?)lr题4.11图
??1????02 ?r?r由条件①和②可知，?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
③ r?a时，?1??2,??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1?
(0?r?a)
（2）
?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn? (a?r??) （3）
n?1?将式（1）～（3）带入条件③，可得到
?Aann?1?ncosn???Bna?ncosn? （4）
n?1??(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?rr?a （5）
n?当r?r0时，将lnR展开为级数，有 lR（6）
带入式（5），得
??n?0lr?1rn?1nr0?n(? )nc o s
?(An?nan?1n?1?Bn?0na?n?1(???0)ql)cosn???2??0r0an?1()cosn? （7） ?rn?10n?n由式（4）和（7），有 Ana?Bna
An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()
2??0r0r0ql(???0)1ql(???0)a2n 由此解得 An??， Bn??2??0(???0)nrn02??0(???0)nr0n故得到圆柱内、外的电位分别为
ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos??()cosn? （8） ?2??02??0(???0)n?1nr0qlql(???0)?1a2n22?2(r,?)??lnr?r0?2rr0cos?? ?()cosn? （9）
2??02??0(???0)n?1nr0r220ql讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0) ?2??0(???0)n?1nr02??0(???0)ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr0
2??0???02??0(???0)1qllnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr
2??02??0???02??0???02?0q的电位相同， 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,0）的线电荷
???0l而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）的线电荷ql；
?2(r,?)?????0???0a2
ql；位于r?0的线电荷ql。 ,0)的线电荷?位于(
???0???0r0
4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位
?l(r,?)与感应电荷的电位?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的
电位为
2??02??0而感应电荷的电位?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?(r,?)满足的边界条件为
??lr(?,(r)??)； ① ?(r,?)?)?C。 ② ?(a,由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
?n?0?l(r,?)??qllnR??qllnr2?r02?2rr0cos? （1）
?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn? （2）
将式（1）和（2）带入条件②，可得到
?Ana?ncosn??C?n?0?ql2??0lna2?r02?2ar0cos? （3）
将lna2?r02?2ar0cos?展开为级数，有
1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn? （4）
n?1nr0220?