电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方 下载本文

第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下: A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez

C?ex5?ez2

求:(1)a;(2)A?B;(3)AB;(4)?;(5)A在B上的分量;(6)A?C;

AAB(7)A(B?C)和(A?B)C;(8)(A?B)?C和A?(B?C)。

解 (1)aAA?ex?ey2?ez3A?12?22?(?3)2?e123x14?ey14?ez14 (2)A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 (3)AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?-11 (

4

c?oB?11AB?sAAB?1?4?17??AB?co?s1(?11238)?135.5 (5)A在B上的分量 AAB11B?Acos?AB?B??17 exeyez(6)A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez(7)由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42

exeyez(8)(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11

8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 (1)判断?PP12P3是否为一直角三角形; (2)求三角形的面积。

1得2 1

38解 (1)三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2,r2?ex4?ey?ez3,r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez, R23?r3, ?r?2ex2?ey?ez8R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0

故?PP为一直角三角形。 12P3 (2)三角形的面积 S?1R?R?1R12231?17?69?17. 1323222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4,rP?ex2?ey2?ez3,

12?R则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47

RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6,求它们之间的夹角和

?x?cos?1(A在B上的分量。

解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos(?1AB?31)?cos?1()?131 AB29?77A在B上的分量为 AB?AB?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez,求A?B在

C?ex?ey?ez上的分量。

ex解 A?B?2ey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1?6?4(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明:如果AB?AC和A?B?A?C,则B?C; 解 由A?B?A?C,则有A?(A?B)?A?(A?C),即

(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C

由于AB?AC,于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C

所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量,p?AX而P?A?X,p和P已知,试求X。

解 由P?A?X,有

A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X

pA?A?P

故得 X?标;(2)球坐标中的坐标。

解 (1)在直角坐标系中 x?4cos?(2故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

AA1.8 在圆柱坐标中,一点的位置由(4,2?,3)定出,求该点在:(1)直角坐标中的坐

3?3)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3

(2)在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120

故该点的球坐标为(5,53.1,120)

r(1)求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex;

(2)求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 (1)在直角坐标中点(?3,4,?5)处,r2?(?3)2?42?(?5)2?50,故

1.9 用球坐标表示的场E?e25,

r2E?er251

?r221?332

Ex?exE?Ecos?rx????25220(2)在直角坐标中点(?3,4,?5)处,r??ex3?ey4?ez5,所以

2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为

?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和

R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1

R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

得到 cos??R1R2?

R1R2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

1.11 一球面S的半径为5,球心在原点上,计算: 解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS2??(e3sin?)dS的值。

rS2??d??3sin??500sin?d??75?2

1.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域,对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。

解 在圆柱坐标系中 ?A?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又

?Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200? ??00?AdS??(errSS42?2?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)?

52? 故有

??5002?5d?dz???2?4rdrd??1200?

00?Ad??1200???AdS ??S1.13 求(1)矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度;(2)求?A对中心在原

点的一个单位立方体的积分;(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 (1)?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z(2)?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1 24 (3)A对此立方体表面的积分

?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?

22?12?12?12?121212121212121212122122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?121313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?????2224?12?12?12?122212121212故有

???Ad??1?24?AdS

S2?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分,并求?r对球体积的积分。

?2解

?rdS??reSSrdS??d??aa00sin?d??4?a3

又在球坐标系中,?r?1?2(rr)?3,所以 2r?r2??a23 3rsin?drd?d??4?a???000???rd??1.15 求矢量A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分,

验证斯托克斯定理。

22222解

C?Adl??xdx??xdx??2000dy??0dy?8

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