（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：

过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G， 当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大， ∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2， ∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠OEB＝60°，

∴∠AEG＝∠OEB＝60°，

在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝

＝+2，

+2）＝

+1．

，

，

∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（

25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；

（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；

（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．

【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；

t）（Ⅱ）点P（m，在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解； （III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可． 解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 则y＝（x+1）（x﹣3），

即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4； ∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），

所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上， 且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，

于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3； 由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3， 由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，

解得：m＝

；

（III）①当a+1＜1时，即a＜0，

则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得a＝1﹣

（正值舍去）；

②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1， 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； ③当a≥1时，

则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+综上，a的值为1﹣

或2+

．

（负值舍去）；