三 函数项级数的一致收敛性判别法
1.用定义；
2.柯西收敛准则（定理3）；
3.函数项级数一致收敛的充要条件（必须已知和函数S(x)才可用此判别法）； 4.魏尔斯特拉斯判别法
定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法,也称M判别法或优级数判别法）设函数项级数?un(x)定
n?1?义在数集D上,?Mn为收敛的正项级数,若对于一切的x?D,有un(x)?Mn,n?1,2,?,
n?1?则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.
n?1?证明：要想证明函数项级数?un(x)在D上一致收敛,只需要根据柯西收敛准则,即证明对
n?1?于任给的??0,?N,使得当n?N时,对一切x?D和一切正整数p,都有 un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)??.
而un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)?Mn?1?Mn?2??Mn?p
而已知?Mn为收敛的正项级数,则对于任给的??0,?N,使得当n?N时,对于一切
n?1正整数p,都有Mn?1?Mn?2??Mn?p??
注:(i)应用此判别法的关键是：从un(x)出发找到所需的Mn. (ii)由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.
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?sinnxcosnx例5 判断函数项级数?2和?2在???,???上的一致收敛性.
nnn?1n?1??sinnx1cosnx11??解：；,而数项级数收敛 ?2n2n2n2n2nn?1定理13.6 (阿贝尔判别法) 设 (i) ?un(x)在区间I上一致收敛；
n?1?(ii)对于每一个x?I,?vn?x??是单调的；
(iii)?vn?x??在区间I上一致有界,即对一切x?I和正整数n,存在正数M,使得
vn?x??M,
则级数?un(x)vn(x)在区间I上一致收敛.
n?1?定理13.7 (狄利克雷判别法)设
(i)?un(x)的部分和函数列Un(x)??uk(x) ?n?1,2,??在区间I上一致有界；
n?1k?1?n(ii)对于每一个x?I,?vn?x??是单调的； (iii)在区间I上vn(x)??0(n??), 则级数?un(x)vn(x)在区间I上一致收敛.
n?1?(?1)n(x?n)n例6 证明函数项级数?在[0,1]上一致收敛. n?1nn?1?证明：令un?x?
??1??nn?x?n??x?；vn?x??????1??
n???n?13-1-10
nn显然?n?1???1?nn收敛,对于vn?x?中n?x,x?a
x?a??a?设f?x???1??,f??x???1???x??x?x??a?a?ln1????x?x?a??0
????n?x?因此函数列单调递增,并且lim?1???ex?e1,所以一致有界,根据阿贝尔判别法可知级
n???n?数收敛
例7 若数列?an?单调且收敛于零,则级数?ancosnx在[?,2???](0????)上一致收
n?1?敛.
1?1???sinn?xsinn?????x1n11122??????+?解:?coskx?+
11222sin1?2k?12sinx2sinx222部分和数列一致有界,数列?an?单调且收敛于零,则根据狄利克雷判别法可知函数项级数一致收敛
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第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质
主要讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性、可微性.
定理13.8 设函数列?fn(x)?在(a,x0)?(x0,b)上一致收敛于f(x),且对?n,limfn(x)?an,
x?x0则liman、limf(x)均存在,且相等.
n??x?x0即limlimfn(x)?limlimfn(x).（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）
n??x?x0x?x0n??证明：首先证明liman存在,由于函数列?fn(x)?在(a,x0)?(x0,b)上一致收敛于f(x),
n??则对于任意的??0,总存在正整数N,当n?N及任意的正整数p,对于一切
x?(a,x0)(x0,b),有
fn?x??fn?p?x???
左右同时令x?x0,有an?an?p??,根据数列收敛的柯西收敛准则可知,liman存在.
n??令liman?a
n??下面证明liman?limf(x)?a
n??x?x0只需要证明对于??0,存在??0,当0?x?x0??时,有f?x??a??
f?x??a?f?x??fN?1?x??fN?1?x??aN?1?aN?1?a ?fN?1?x??f?x??fN?1?x??aN?1?aN?1?a
又因为limfn?x??f?x?,则对于??0,存在正整数N,当n?N时,有fn?x??f?x??n???3
因此fN?1?x??f?x???
因为limfn(x)?an,则由极限定义可知,??0,存在??0,当0?x?x0??时,有
x?x0fn?x??an??,从而fN?1?x??aN?1?
?3
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