1?22nx,0?x??2n?11?fn(x)??2n?2n2x,?x? n?1,2,? （8）
2nn?1?0,?x?1?n?由于fn(0)?0,故f(0)?limfn(0)?0.当0?x?1时,只要n?
n??n??1
,就有fn(x)?0,故在x
(0,1]上有f(x)?limfn(x)?0.于是函数列(8)在[0,1]上的极限函数f(x)?0,又由于
supfn(x)?f(x)?fn(1)?n???0 (n??), 2nx?[0,1]所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛.
(第四版课本上例题)设fn?x??nxe?nx,x?D??0,???,n?1,2,敛性.
解：limfn?x??limnxe?nx?limn??n??n??2222判别?fn?在D上的一致收
nxenx2?0?f?x?
fn??x??ne?nx?2n2x2e?nx?ne?nx?1?2nx2??0
2求出驻点为x?1 2n?1??1??fx?0,??0,在区间?,；在,fn??x??0 ?????n????2n??2n???1?1?12,ne?所以极大值点为?? ?2n2n??因此limsupfn(x)?f(x)???0,所以不一致收敛
n??x?D 13-1-5
1?1?n?n2?1??en?1?n??? 同样也可取?xn????,fn?x??n?en?n?1??1??还可取?xn????,也可以证明函数列不一致收敛.
??n??二 函数项级数及其一致收敛性
设?un(x)?是定义在数集E上的一个函数列,表达式 u1(x)?u2(x)??un(x)?,x?E （9）
?称为定义在E上的函数项级数,简记为?un(x)或?un(x).称
n?1 Sn(x)??uk(x), x?E,n?1,2,? （10）
k?1n为函数项级数(9)的部分和函数列.
若x0?E,数项级数u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? （11）
收敛,既部分和Sn(x0)??uk(x0)当n??时极限存在,则称级数（9）在点x0收敛,x0称
k?1n为级数(9)的收敛点,若级数(11)发散,则称级数(9)在点x0处发散.
若级数(9)在E某个子集D上每个点都收敛,则称级数(9)在点D上收敛,若D为级数(9)全体收敛点的集合,这时则称D为级数(9)的收敛域.级数(9)在D上每一点x与其所对应的数项级数(11)的和S(x)构成一个定义在D上的函数,称为级数(9)的和函数,并写作
u1(x)?u2(x)???un(x)???S(x),x?D
13-1-6
即 limSn(x)?S(x),x?D.
n??也就是说,函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛性. 例4 定义在(??,??)上的函数项级数（几何级数）
1?x?x2???xn?? （12）
1?xn1的部分和函数为Sn(x)?.故当x?1时,S(x)?limSn(x)?.
n??1?x1?x所以几何级数(12)在(?1,1)内收敛于和函数S(x)??n?n?n1； 1?x?n当x?1时,?x??1发散；当x??1时,?x????1?发散
n?0n?0n?0n?01?xn??,几何级数是发散的. 当x?1时,Sn(x)?1?x定义2（函数项级数一致收敛性定义） 设?Sn(x)?是函数项级数?un(x)的部分和函数
n?1??列.若?Sn(x)?在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数?un(x)在D上一致收
n?1敛于函数S(x),或称?un(x)在D上一致收敛.
n?1?(第四版)若?un(x)在任意的闭区间?a,b??I上一致收敛,则称级数?un(x)在区间In?1n?1??上内闭一致收敛.
由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的,因此有
定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数?un(x)在D上一致收敛的充要
n?1? 13-1-7
条件是：对于任给的??0,?N,使得当n?N时,对一切x?D和一切正整数p,都有 Sn?p(x)?Sn(x)??
即 un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)??. 特别地,当p?1时,得到函数项级数收敛的必要条件：
推论 若函数项级数?un(x)在D上一致收敛,则函数列?un(x)?在D上一致收敛于0.
n?1?设?un(x)?S(x),x?D,称Rn(x)?S(x)?Sn(x)为函数项级数?un(x)的余项.
n?1n?1??定理13.4 函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x)充要条件是
n?1? limsupRn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0.
n??x?Dn??x?D例：?xn若在??a,a?上讨论，则
n?0??xnanlimsupS(x)?Sn(x)?limsup?lim?0?n??? n??x?Dn??x?D1?xn??1?a?n?n?1??xnn?1??n???若在??1,1?上，则supS(x)?Sn(x)?sup?n???(n??) ?nx???1,1?x???1,1?x?1?n?1?1?n?1
n
13-1-8