第十三章 函数列与函数项级数

目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论．

重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法.

第一节 一致收敛性

我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性

设 f1,f2,?,fn,? (1)

是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.也可简记为： {fn}或 fn, n?1,2,?.

设x0?E,将x0代入f1,f2,?,fn,?得到数列

f1(x0),f2(x0),?,fn(x0),? (2)

若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点x0收敛,x0称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点x0发散.

若函数列{fn}在数集D?E上每一点都收敛,则称{fn}在数集D上收敛.

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这时对于?x?D,都有数列{fn(x)}的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D上的一个函数,称它为函数列{fn}的极限函数.记作f.于是有 limfn(x)?f(x), x?D,或 fn(x)?f(x)(n??),x?D.

n??函数列极限的??N定义是：

对每一个固定的x?D,对???0,?N?0（注意：一般说来N值的确定与?和x的值都有关）,使得当n?N时,总有 fn(x)?f(x)??.

使函数列{fn}收敛的全体收敛点的集合,称为函数列{fn}的收敛域.

例1 设fn(x)?xn,n?1,2,?为定义在(??,?)上的函数列,证明它的收敛域是(?1,1],且有极限函数

?0,x?1 f(x)?? (3)

1,x?1?证明：因为定义域为(??,?),所以根据数列收敛的定义可以将(??,?)分为四部分

(i) 0?x?1 ,对于任给??0（不妨设??1）,当0?x?1时,由于

fn(x)?f(x)?x,故只要取N(?,x)?nln?,则当n?N(?,x)时,就有fn(x)?f(x)??. lnx(ii)x?0和x?1时,则对任何正整数n,都有

fn(0)?f(0)?0??,fn(1)?f(1)?0??.

(iii) 当x?1时,则有x???(n??),

(iv) 当x??1时,对应的数列为?1,1,?1,1,?,它显然是发散的.

这就证得?fn?在(?1,1]上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列?xn?在区

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n间(?1,1]外都是发散的.

例2 定义在(??,??)上的函数列fn(x)?由于对任何实数x,都有

sinnx1?, nnsinnx,n?1,2,? n故对任给的??0,只要n?N?1?,就有

sinnx?sinnx??0??.所以函数列??的收敛域为无n?n?限区间(??,??),函数极限f(x)?0.

定义1 设函数列?fn?与函数f定义在同一数集D上,若对任给的正数?,总存在某一正整数

N,使得当n?N时,对一切的x?D,都有

fn(x)?f(x)??

则称函数列?fn?在D上一致收敛于f,记作：fn(x)??f?x??n???. 注：一致收敛一定收敛，反之不一定成立

1?1?例 fn(x)?xn在?0,1?上收敛但是不一致收敛，取?0?,x0??1??，但是在?0,b?上一致收敛.

2?n?其中b?1

1n定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列?fn?在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给的正数?,总存在正数N,使得当n,m?N时,对一切x?D,都有 fn(x)?f(x)??. （4） 证明 [必要性] 设,x?D,

即对任给??0,存在正数N,使得当n?N时,对一切x?D,都有fn(x)??f?x??n???

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fn(x)?f(x)?于是当n,m?N,由（5）就有

?2. （5）

fn(x)?fm(x)?fn(x)?f(x)?f(x)?fm(x)??2??2??.

[充分性] 若条件（4）成立,由数列收敛的柯西准则,?fn?在D上任一点都收敛,记其极限函数为f(x),x?D.现固定（4）式中的n,让m??,于是当n?N时,对一切x?D都有fn(x)?f(x)??.

由定义1, fn(x)??f?x??n??? ,x?D.

定理13.2 函数列?fn?在区间D上一致收敛于f的充要条件是： limsupfn(x)?f(x)?0. （6）

n??x?D?x证明 [必要性] 若fn(x)??f?x??n???,x?D.则对任给的正数,存在不依赖与的正整数N,当n?N时,有fn(x)?f(x)??, x?D.

由上确界的定义,亦有supfn(x)?f(x)??，则有 limsupfn(x)?f(x)?0.

x?Dn??x?D[充分性] 由假设,对任给的??0,存在正整数N,使得当n?N,有 supfn(x)?f(x)??. （7）

x?D因为对一切x?D,总有fn(x)?f(x)?supfn(x)?f(x).

x?D故由(7)式得 fn(x)?f(x)??.于是?fn?在D上一致收敛于f.

（第四版）推论 函数列?fn?在区间D上不一致收敛于f的充要条件是：存在?xn??D,使得limfn?xn??f?xn??0.

n??例3定义在[0,1]上的函数列

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