A.0 答案 C
B.1 C.2 D.3
4.已知?的分布列为?=-1,0,1,对应P=
A.-1612，
16，
13，且设?=2?+1，则?的期望是 C.
2936 （ ）
B.
23 D.1
答案 B
例1 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X的分布列； （2）X的均值.
解 （1）X的所有可能取值为0，10，20，50，60.
?9?P（X=0）=???10?3=
72010002； +
910?9?P（X=10）=3??10?10?13C123
9101103;
910=
2431000;
P(X=20)= P(X=50)=P(X=60)=
1103C1233 =
11021103=
181000910=
191000;
11031000.
故X的分布列为
X 0 729100010 181000243100020 9100018100050 19100060 11000P （2）EX=03
7291000 +103
2431000+203+503+603
1000=3.3(元).
例2 某运动员投篮时命中率p=0.6.
（1）求一次投篮命中次数?的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数?的期望与方差. 解 （1）投篮一次，命中次数的分布列为：
? 0 0.4 2
1 0.6 P 则E?=030.4+130.6=0.6,
2
D?=(0-0.6)30.4+(1-0.6)30.6=0.24.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数?服从二项分布, 即?～B(5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有 E?=530.6=3,D?=530.630.4=1.2.
33
例3 （12分）设随机变量?具有分布P（?=k）=解 ∵E?=13E?=13
2
15，k=1，2，3，4，5，求E(?+2)，D（2?-1）. =3.
2
2
15+23
152
15+33
152
15+43
15152
+53
1515=
15515+23
2
2
+33+43
2
+53=11.
2
15
2
15
4分
D?=（1-3）3=
1515+（2-3）3
15+（3-3）3
15+（4-3）3
+（5-3）3
（4+1+0+1+4）=2.
2
2
8分
∴E（?+2）=E（?+4?+4） =E?+4E?+4=11+12+4=27. D（2?-1）=4D?=8，
2
10分 12分
例4 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
? 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 P
? 0 1 2 P
试评定这两个保护区的管理水平.
0.1 0.5 0.4 解 甲保护区的违规次数?的数学期望和方差为 E?=030.3+130.3+230.2+330.2=1.3;
D?=(0-1.3)30.3+(1-1.3)30.3+(2-1.3)30.2+(3-1.3)30.2=1.21. 乙保护区的违规次数?的数学期望和方差为 E?=030.1+0.5+230.4=1.3;
D?=(0-1.3)30.1+(1-1.3)30.5+(2-1.3)30.4=0.41.
因为E?=E?,D?＞D?,所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.
（1）求随机变量X的分布列； （2）求随机变量X的数学期望和方差. 解 （1）P（X=0）=
2A332
2
2
2
2
2
2
=
13；
34
P（X=1）=
C3A331=
12；P（X=3）=
1A33=
16；
∴随机变量X的分布列为
X 0 131 123 16P （2）EX=13DX=(1-0)2
2
1213+33
162
=1.
12+(1-1)2+(3-1)2
2
16=1.
2.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，用?表示这3个试验组中甲类组的个数，求?的分布列和数学期望. 解 （1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2， Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2. 依题意有 P（A1）=23P（A2）=P(B0)=
12231323，服用B有效的概率为
12.
3
232349=
49,
3
12=
14.
3
12=
12,
12P(B1)=233=.
所求的概率为
P=P(B02A1)+P（B02A2）+P（B12A2） =
143
49+
143
49+
123
49=
49.
49（2）?的可能值为0,1,2,3，且?～B(3,
?5?P（?=0）=???9?3).
=
125729，
2P（?=1）=P(?=2)=C1C33
?5?3??9?9?4=
100243,
23?4?3???9?323
59=
80243,
?4?P(?=3)=???9?=
64729.
?的分布列为
35
? 0 1257291257291 1002431002432 80243802433 6472964729P 数学期望E?=03
+13+23+33=
43.
3.（20082湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，?表示所取球的标号. （1）求?的分布列、期望和方差；
（2）若?=a?+b,E?=1,D?=11,试求a,b的值. 解 （1）?的分布列为
? 0 121201 1202 3203 3204 15P ∴E?=03
12 1102
110 +13
2
+23+33
120+43
152
=1.5.
120D?=(0-1.5)3
2
12+(1-1.5)3
2
+(2-1.5)3+(3-1.5)3
2
320+(4-1.5)3
2
15=2.75.
(2)由D?=aD?,得a32.75=11,即a=±2. 又E?=aE?+b,
所以当a=2时,由1=231.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-231.5+b,得b=4. ∴??a?2,?b??2,或??a??2?b?4即为所求.
4.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：
? 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2 P ? 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中?和?分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.
解 E?=11030.1+12030.2+12530.4+13030.1+13530.2=125, E?=10030.1+11530.2+12530.4+13030.1+14530.2=125，
D?=0.13（110-125）+0.23(120-125)+0.43（125-125）+0.13（130-125）+0.23（135-125）=50， D?=0.13（100-125）+0.23（115-125）+0.43（125-125）+0.13（130-125）+0.23（145-125）=165， 由于E?=E?＞120，而D?＜D?, 故甲厂的材料稳定性较好.
36
2
2
2
2
2
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2