1.一学生通过一种英语听力测试的概率是

A.

1412，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是（ ）

C.

12 B.

13 D.

34

答案 C

2.已知随机变量X服从二项分布X～B（6，

A.

131613），则P（X=2）等于

C.

13243

D.

（ ）

80243 B.

4243

答案 D

3.打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的 概率是 A.

35

B.

34

C.

1225

D.

1425（ ）

答案 D

4.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是且是相互独立的，则灯亮的概率是 A.

16412，

5564

C.

18（ ）

D.

116 B.

答案 B 5.已知P（AB）=

A.

950310，P（A）=

35，则P（B|A）等于

B.

12

C.

910

（ ）

D.

14

答案 B

例1 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问

（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ （2）从2号箱取出红球的概率是多少？ 解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球. P（B）=

42?4=

23，P（B）=1-P（B）=

3?18?113，

（1）P（A|B）==

349. =

13（2）∵P（A|B）=

8?1，

∴P（A）=P（AB）+P（AB） =P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）

25

=

493

23+

133

13=

1127.

例2 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算： （1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率.

解 记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB或AB；“至少有1人击中目标”是AB或AB或AB. （1）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A2B，又由于事件A与B相互独立， ∴P（AB）=P（A）2P（B）=0.830.8=0.64.

（2）“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即AB），另一种是甲未击中，乙击中（即AB），根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与AB是互斥的，所以所求概率为：

P=P（AB）+P（AB）=P（A）2P（B）+P（A）2P（B） =0.83(1-0.8)+(1-0.8)30.8 =0.16+0.16=0.32.

（3）方法一 “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P=P（AB）+［P（AB）+P（AB）］ =0.64+0.32=0.96.

方法二 “两人都未击中目标”的概率是 P（AB）=P（A）2P（B）=（1-0.8）3（1-0.8）

=0.230.2=0.04.

∴至少有一人击中目标的概率为 P=1-P（AB）=1-0.04=0.96.

例3 （12分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

13.

（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列； （2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为

故X～B（6，

1313，且每次试验结果是相互独立的，

2分

），

所以X的分布列为 P（X=k）=Ck6?1????3?k?2?2???3?6?k，k=0，1，2，3，4，5，6. 4分

（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.

其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.

?2?P（Y=k）=???3?k2

13（k=0，1，2，3，4，5）， 6分

而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，

26

故其概率为

?2?P（Y=6）=???3?6.

因此Y的分布列为：

Y P 0 131 132 233 2 2 1?2?2??3?3? 1?2?2??3?3?3

8分

（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或?或X=6}，

6Y P 14 ?2?2??3?3?45 1?2?2??3?3?56 ?2????3?6

10分

所以其概率为 P（X≥1）=?k?1P(X?k)?1?P(X?0)

?2?=1-???3?6=

665729≈0.912.

12分

1.盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张（不放回），记“甲中奖”为A，“乙中 奖”为B.

（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）； （2）A与B是否相互独立，说明理由. 解 （1）P（A）=

232A103?9A102=

310，P（B）=

P(AB)P(B)310，

29P（AB）=

A=

115，P（A|B）=

?.

（2）因为P（A）≠P（A|B），所以A与B不相互独立.

2.甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格. （1）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.

解 （1）设甲、乙考试合格分别为事件A、B，甲考试合格的概率为P（A）=乙考试合格的概率为P（B）=

C8?C8C2C103321321C6?C6C4C103?23，

?1415.

1415（2）A与B相互独立，且P（A）=

23，P（B）=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为

27

P（AB+AB+AB）=

233

1415+

133

1415+

233

115=

4445.

3.（20082山东理，18）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

23，乙队中3人答对的概率分别为

23，

23，

12，且各

人回答正确与否相互之间没有影响.用?表示甲队的总得分. （1）求随机变量?的分布列和数学期望；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）.

解 （1）方法一 由题意知，?的可能取值为0，1，2，3，且 P（?=0）=CP(?=1)=

1C30332??3?1??3??=

2127,

293

2??3?1??3?3?2=

2??3?,

49P(?=2)=C23?2?3???3?3323?1??3?=,

P(?=3)= C?2?3???3?=

827.

所以?的分布列为

? 0 12711 29292 493 827P 的数学期望为E?=03

49 827 ?27+13+23

23+33=2.

方法二 根据题设可知,?～B（3，因此?的分布列为 P(?=k)=Ck3）,

?2?3???3?k2??3?1??3??3?k=Ck33

2323k3,k=0,1,2,3.

因为?～B（3，

23）,所以E?=33=2.

(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB=C+D，且C、D互斥， P（C）=CP(D)=C33232?2?3???3?33?1???2??3?3（3

12233

133,

12+

133

233

12+

133

133

12）=

1034,

?2?3???3?3（

133

13）=

435由互斥事件的概率公式得 P(AB)=P(C)+P(D)=

1034+

435=

3435=

34243.

方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3.由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有

P（AB）=P（A3B0+A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）.

由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，因此

28