1.把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是（ ）

A.曲线C2仍是正态曲线

B.曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等

C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2 D.曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2 答案 C

2.已知?～N(0,?2)且P（-2≤?≤0）=0.4，则P(?＞2)的值为

A.0.1 答案 A

23.（20082安徽理，10）设两个正态分布N（?1，?12） （?1＞0）和N（?2，?2） （?2＞0）的密度

基础自测

（ ）

B.0.2 C.0.3 D.0.4

函数图象如图所示，则有 （ ）

A.?1＜?2，?1＜?2 C.?1＞?2，?1＜?2 答案 A

4.（20082湖南理，4）设随机变量?服从正态分布N（2，9），若P（?＞c+1）=P（?＜c-1），则c 等于

D.4

（ ）

B.?1＜?2?1＞?2 D.?1＞?2，?1＞?2

A.1 答案 B

B.2 C.3

2

5.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N（110，5），据此估计，大约应有57人的分数在下 列哪个区间内？ A.（90，110］ C.（100，125］ 答案 C

（ ）

B.（95，125］ D.（105，115］

41

例1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

412?.

（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式； （2）求正态总体在（-4，4）的概率.

解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即?=0.由

12??=

12??4，得?=4，

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

142??x2f(x)=

e32，x∈（-∞,+∞）.

（2）P（-4＜X＜4）=P(0-4＜X＜0+4) =P(?-?＜X≤?+?)=0.683. 例2 设X～N（5，1），求P（6＜X＜7）. 解 由已知?=5, ?=1.∵P(4＜X＜6)=0.683， P(3＜X＜7)=0.954， ∴P(3＜X＜4)+P(6＜X＜7) =0.954-0.683=0.271.

如图，由正态曲线的对称性可得 P（3＜X＜4)=P(6＜X＜7) ∴P(6＜X＜7)=

0.2712=0.135 5.

例3 （12分）在某次数学考试中，考生的成绩?服从一个正态分布，即?～N（90，100）. (1)试求考试成绩?位于区间（70，110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？ 解 ∵?～N（90，100），∴?=90，?=

100=10. 2分

（1）由于正态变量在区间（?-2?，?+2?）内取值的概率是0.954，而该正态分布中，?-2?=90-2310=70，?+2?=90+2310=110，于是考试成绩?位于区间（70，110）内的概率就是0.954.

6分

（2）由?=90，?=10，得?-?=80，?+?=100.由于正态变量在区间（?-?，?+?）内取值的概率是0.683，

所以考试成绩?位于区间（80，100）内的概率是0.683.

8分

一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2 00030.683=1 366（人）.

12分

12??x21.标准正态分布的概率密度函数是f(x)=（1）求证：f（x）是偶函数； （2）求f（x）的最大值；

2e2(x∈R).

（3）利用指数函数的性质说明f（x）的增减性.

42

（1）证明 对任意x∈R，有f(-x)=

12??(?x)22e

=

12??x2e2=f(x),∴f(x）为偶函数.

2（2）解 令t=

t

x2,当x=0时，t=0,e=1.

t

t

∵e是关于t的增函数，当x≠0时，t＞0，e＞1.

x2∴当x=0，即t=0时，e2=e取最小值.

?x2t

∴当x=0时，f（x）=

12?e2取得最大值

12?.

(3)解 任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2,

2有x12＞x2,∴e?x122＜e?x222.

∴f(x1)＜f(x2),即当x＜0时，f(x)递增.

又f(x)为偶函数，由偶函数性质得，当x＞0时，f（x）递减. 2.设X～N（1，2），试求 （1）P（-1＜X≤3); (2)P(3＜X≤5); (3)P(X≥5).

解 ∵X～N（1，2），∴?=1，?=2. （1）P（-1＜X≤3)=P(1-2＜X≤1+2) =P（?-?＜X≤?+?)=0.683. （2）∵P（3＜X≤5)=P(-3＜X≤-1) ∴P(3＜X≤5)====

121212122

2

［P(-3＜X≤5)-P(-1＜X≤3)］

［P(1-4＜X≤1+4)-P(1-2＜X≤1+2)］

［P(?-2?＜X≤?+2?)-P(?-?＜X≤?+?)］ 3(0.954-0.683)=0.135 5.

(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), ∴P(X≥5)====

12121212［1-P(-3＜X≤5)］

［1-P(1-4＜X≤1+4)］ ［1-P(?-2?＜X≤?+2?)］ （1-0.954)=0.023.

43

3.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N(4，

1)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不

9属于区间（3，5）这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 解 ∵X～N(4,

19)，∴?=4，?=

13.

∴不属于区间（3，5）的概率为 P（X≤3）+P(X≥5)=1-P（3＜X＜5) =1-P(4-1＜X＜4+1) =1-P(?-3?＜X＜?+3?) =1-0.997=0.003, ∴1 00030.003=3(个），

即不属于区间（3，5）这个尺寸范围的零件大约有3个.

一、选择题

1.对于正态分布N（0，1）的概率密度函数f(x)=

1?x2e2,下列说法不正确的是 2?A. f(x)为偶函数 B. f(x)的最大值为

1

2?C. f(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数 D. f(x)关于?=1对称 答案 D

2.已知随机变量?服从正态分布N（2，?2）,P(?≤4)=0.84,则P（?＜0）等于

A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84

答案 A

3.（20082重庆理，5）已知随机变量?服从正态分布N（3，?2），则P（?＜3）等于

A.

15 B.

14 C.

13 D.

12

答案 D

4.设随机变量X～N（?，?2），则随着?的增大，概率P（|x-?|＜3?）将会

（A.单调增加 B.单调减少

C.保持不变

D.增减不定

答案 C 5.在正态分布N(0，

19)中，数值落在（-∞，-1）∪（1，+∞）内的概率为

A.0.097

B.0.046

C.0.03

D.0.003

44

）

）

）

） ）

（（（ （