解：由柯西不等式（1-4）得：y? 当且仅当 1x?32x?3?24?x??12?22????x?3???4?x????5 ?4?x，即x?165时取得最大值。
例3.2.2已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?3，a2?2b2?3c2?6d2?5，试求a的最值。 解：由柯西不等式（1-3）得，有?2b?3c?6d222?111???2?3?6???b?c?d??2?
22222 即 2b?3c?6d??b?c?d?，由条件可得， 5?a??3?a?
2 解得，1?a?2，当且仅当 2b12?3c13?6d16 时等号成立，
代入 b?1,c? b?1,c?13232,d?,d?21613时， amax=2, 时， amin?1.
22例3.2.3已知a,b,c,R为常数，当x?y?z?R时，求函数f?x,y,z??ax?by?cz的最大值与最小值。 解： f2?x,y,z???ax?by?cz?2??a?b?c222??x22?y?z222???a2?b?c22?R2
故 f?x,y,z??Ra?b?c，
2 当且仅当
xa?yb?zc?t，即x?at,y?bt,z?ct（t为常数）时等号成立
2222将x?at,y?bt,z?ct代入x?y?z?R， 得： ?a?b?c222?t?R，则 t??22Ra?b?c2，即，
222当?x,y,z???与最小值。
Ra?b?c222?a,b,c?时，f?x,y,z???Ra?b?c分别为所求最大
22例3.2.3中，x?y?z?R是球体的表达式，此题可以看做是求解球上的点在坐标系上的最大最小值。
22223.3 求函数的值域问题
当一个求取值范围（值域）的函数中出现了两个或两个以上的平方和，或者与平方和有关
时，就可以考虑用柯西不等式来求解函数的值域问题
[13]。
例3.3.1设a,b?R且a2?b2?4，求2a?b的取值范围。 解： ?a?b22??22?12???2a?b?2
?4?5??2a?b? ??2a?b??20 ??25?2a?b?25 例3.3.2求函数y?sinx?3cosxsinx?2cosx?122的值域。
解：如题，直接求y的值域，看起来无从下手，但是式子中出现了sinx和cosx，不难想到sin?cosx?1，
22所以此题可以看成是求y的值域，设法得到sinx与cosx再利用sin?cosx?1求解。
22222将原函数改写成 y??1?y?sinx??3?2y?cosx
22222根据柯西不等式（1-1）可以得出： y???1?y???3?2y???sinx?cosx?
?? 解得： 2y?7y?5?0，所以y?1或y?252
3.4 解三角和几何问题
柯西不等式不仅可以用来解函数问题，还可以求几何问题
[16]。它体现了代数与分析、概率
与分析、高等数学与初等数学之间的相互渗透，相互促进的内在联系。 例3.4.1 用柯西不等式推导点到直线的距离公式
[19]。
22 已知点P?x0,y0?及直线l:Ax?By?C?0 ?A?B?0? 解：设点Q是直线l上的任意一点，则
Ax?By?C?0 （3.4-1） PQ??x0?x?2??y0?y? （3.4-2）
2点PQ两点间的距离PQ就是点P到直线l的距离，求（3.4-2）式最小值，由柯西不等式有：
A?x0?x??B?y0?y??Ax0?By0?C??Ax?By?C??A?B22?x0?x?2??y0?y?2
由（3.4-1）（3.4-2）得：Ax0?By0?C?A?B?PQ, 即PQ?22Ax0?By0?CA?B22
最小值即为点到直线的距离公式为： PQ?Ax0?By0?CA?B22
这个证明启发我们对柯西不等式的认识。事实上，纵观上述证明，其运用方法的几何背景和解释均在二维平面上，由此可以考虑三维空间点到面的距离公式。这可以启发我们在n维抽象空间中，如何求得子空间外一点到该子空间的距离，即点到空间中任何点距离最小者。这正是极值问题。由此可得，柯西不等式与极值问题有着密切的关系，如前面所述的柯西不等式的应用。
例3.4.2 设P是△ABC内的一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离，R是△ABC外接圆的
12R半径，试证明：x?y?z?a?b?c 222证明：由柯西不等式得，
x?y?z?ax1a?by1b?cz1c?ax?by?cz?1a?1b?1c 记S为△ABC的面积，则，
ax?by?cz?2S?2?abc4R?abc2R
12Rx?y?z?abc2Rab?bc?caabc?12Rab?bc?ca?a?b?c 222故不等式成立。
例3.4.3 设P是△ABC内的一点，D、E、F分别为P到边BC、CA、AB所引垂线的垂足。求所有使
BCPDPEPF111解:S???C=BC?PD?CA?PE?AB?PF ①
222?CA?AB为最小值的点P。
由柯西不等式得：
BCPD?CAPE?ABPF?BC?PD?CA?PE?AB?PF?BCCAAB?????
2S△ABC?PDPEPF? ?12S△ABC????BC?PD2BCPD?CA?PECAPE?AB?PFAB? ??PF?2 ??BC?CA?2S△ABCAB? (定值) ②
当且仅当 PD?PE?PF时，等号成立。
故当P为△ABC的内心时，
BCPD?CAPE?ABPF取得最小值。
例3.4.2和3.4.3是柯西不等式的三维形式在三角几何中的具体应用。 例3.4.4在△ABC中，设其各边长为a,b,c，外接圆半径为R， 求证：?a2?b?c2?1??1??sin2A?1sin2B?sin2C??36R2 ?证明：由柯西不等式得：
2?a2?b?c2??111???abc??sin2A?sin2B?sin2C?????sinA?sinB?sinC?? ??2R?2R?2R?2?36R2
3.5 解方程或方程组[4]
例3.5.1解方程4x?3?21?2x?15 解：原方程可以变形为：2?2x?32?21?2x?15，
由柯西不等式（1-4）可得： ?3???2?2?22??????32?1?2x???2x??2?????2?2x?2?21?2x?????2????????15
?2x?3其中等号成立的充要条件为：2?1?2x22
解得：x??13，所以原方程的解为x??13
?例3.5.2在实数集内解方程??x2?y2?z2?94 ???8x?6y?24y?39解：由柯西不等式（1-1），得
?x2?y2?z2????8?2??62???24?2?????8x?6y?24y?2 ??x2?y2?z2??2???8??62???24?2??
?94??64?36?4?1?44?2 3 9又 ??8x?6y?24y?2?392
①