目 录

摘要 .......................................................................................................................................................... 1 Abstract ..................................................................................................................................................... 1 前 言 ........................................................................................................................................................ 2 1 柯西不等式的内容及证明 ................................................................................................................. 2

1.1 基本形式及其证明 ................................................................................................................. 2 1.2 柯西不等式的其它形式及其证明 ......................................................................................... 5

1.2.1 二维形式 ..................................................................................................................... 5 1.2.2 三角形式 ..................................................................................................................... 5 1.2.3 矢量形式 ..................................................................................................................... 6

2 柯西不等式的推广及其证明 ............................................................................................................. 6 3 柯西不等式的应用 ............................................................................................................................. 8

3.1 证明不等式 ............................................................................................................................. 8

3.1.1 巧乘因式 ..................................................................................................................... 9 3.1.2 重排序 ......................................................................................................................... 9 3.1.3 变量替换 ................................................................................................................... 10 3.1.4 构造两组数 ............................................................................................................... 11 3.2 求最值问题 ........................................................................................................................... 11 3.3 求函数的值域问题 ............................................................................................................... 12 3.4 解三角和几何问题 ............................................................................................................... 13 3.5 解方程或方程组 ................................................................................................................... 15 3.6 处理特殊等式问题 ............................................................................................................... 16 3.7 用柯西不等式解释样本线性相关系数 ............................................................................... 17 3.8 柯西不等式在泛函分析中的应用 ....................................................................................... 18 致 谢 ...................................................................................................................................................... 19 参考文献................................................................................................................................................. 19

柯西不等式的证明及应用

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，它以对称和谐的结构和广泛的应用引起了学者

的讨论，并出现了许多的变式，现从柯西不等式的定义入手，对柯西不等式的几种证明方法进行了阐述，并逐步说明了在不等式的证明、求最值、求值域、解方程、确定参数的取值范围、推导空间点到直线的距离及一些比较难证的数学命题等方面的应用。

关键词：证明；不等式；柯西不等式；应用

Proof and Application of Cauchy Inequality

Abstract：Cauchy inequality is a very important inequality, which with its symmetric and

harmonious pattern and comprehensive application triggers off many researchers' discussion and has multiform inequality. Now we begin with the definition of the Cauchy inequality , and then introduce several methods to proof it. We apply the Cauchy inequality to slove some problems such as proof of inequality, solve triangle relevant problem, find the min-max value, slove equation, determine the range of the variable, and reasoning the distance between the point and the line.

Key words：proof；inequality; Cauchy inequality；application

前 言

不等式是一种应用广泛的技巧性工具，在初等数学和高等数学中都有重要的意义。特别是20世纪90年代，不等式的研究空前活跃，研究的深度和广度都在迅速扩大。柯西不等式就是其中著名的不等式之一。柯西不等式历史悠久、形式优美、结构巧妙，是研究很多问题的一个强有力的工具，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式。该不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。该不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，而后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步，因此该不等式称为Cauchy-Buniakowshy-Schwarz不等式。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它，可以使一些较困难的问题迎刃而解。这个不等式结构对称和谐，应用灵活广泛，深受人们的喜爱。著名的柯西不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人们思维的多样性、渗透性和完备性。例如在概率论与数理统计、泛函分析等领域中的应用。认识这一点可以使思维更活跃，也可以使我们的学习更富有创造性。柯西不等式通常应用于证明代数不等式、几何不等式、三角不等式，同时它在实数的大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值等方面都有着广泛的应用，归纳起来有两大类：一是证明与不等式有关的命题；二是求解有关的数学命题。但无论用柯西不等式处理何种类型的问题，都必须按照柯西不等式的结构特点，恰当地选取两个数组，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明、求解有关问题的目的。

本文先介绍了各种形式的柯西不等式，从不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值、解几何问题等方面的应用，描述了柯西不等式的几何意义以及柯西不等式的推广形式。

1 柯西不等式的内容及证明

我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，柯西不等式拥有多种形式，下面我们给出柯西不等式的几种形式及其证明。

1.1 基本形式及其证明

柯西不等式的基本形式：

设 ai,bi?R?i?1,2,???,n?，ai,bi?i?1,2,3,???,n?都不全为零 ，则

?n? ??aibi???i?1?2n?ai?12ibi （1-1）

2当且仅当

b1a1?b2a2?????bnan 时，不等式等号成立。

这就是著名的柯西（Cauchy）不等式的基本形式

[1]，也是运用最广泛的形式。

下面我们来用几种不同的方法来证明这个基本形式的柯西不等式。 1 数学归纳法

[1]：

当n?1时，a1b1??a1b1?不等式显然成立

222当n?2时，左边=?a1b1?a2b2??a1b1?a2b2?2a1b1a2b2，

22222 右边=?a12?a2??b12?b22??a12b12?a22b22?a12b22?a22b12

222因为a12b22?a2b1?2a1b1a2，b2故有?a1b1?a2b?2??22a1?2a??22b1??b，当且仅当

22a1b2?a2b1，即

a1b1?a2b2时，等号成立。

假设n?k时，不等式成立，

?a21?a2?????ak222??b21?b2?????bk2222???ab211?a2b2?????akbk22?

2即?a1b1?a2b2?????akbk???a1?a2?????aka1b1?a2b2?????anbn??b21?b2?????bk?，当且仅当

时等号成立。

那么当n?k?1时，

?a1b1?a2b2?????akbk??a1b1?a2b2?????akbk??a1?a2????a?bk??12222?ak?1bk?1?

222?2?2ak?1bk?1?a1b1?a2b2?????akbk??ak?1bk?1??k??b??2222?k?b222a?1?bk?1221a1b2a?b2222?k???b???ka222k2?1k a?b1??a1?a2?????ak222??b21?b2?????bk??a1bk?1?b1ak?1????akbk?1?bkak?1?ak?1bk?1

22222222??a1?a2?????ak?1??b1?b2?????bk?1???a1?a2?????an222

??b21?bn?????bn?

22当且仅当 a1bk?1?b1ak?1,a2bk?1?b2ak?1,???,akbk?1?bkak?1 时等号成立， 即

a1b1?a2b2?????akbk?ak?1bk?1 时等号成立。于是

n?k?1时不等式成立，所以对任意自然数n，柯西不等式（1-1）成立。

2 构造二次函数（利用判别式）

[1]：

222??????(x)?ax?b?ax?b???ax?b首先我们来构造一个二次函数：f1122nn，

将函数展开?a1?a2?????an?x?2?a1b1?a2b2?????anbn?x??b1?bn?????bn2222222?