第六章
习题
6—1 用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。
6-2、用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。
6-3、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。已知梁的抗弯刚读EI为常数。
6-4阶梯形悬臂梁如图所示，AC段的惯性矩为CB段的二倍。用积分法求B端的转角以及挠度。
6-5一齿轮轴受力如图所示。已知：a=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm;材料的弹性模量E=210Pa;轴在轴承处的许用转角[]
=0.005rad。近似的设全轴的直径均为d=60mm,试校核轴的刚度。
回答：
6-6一跨度为4m的简支梁，受均布载荷q=10Kn/m,集中载荷P=20Kn,梁由两个槽钢组成。设材料的许用应力[]=160Ma,梁的许 用挠度[]=不计。
。试选择槽钢的号码，并校核其刚度。梁的自重忽略
6-7两端简支的输气管道，外径D=114mm。壁厚=4mm,单位长度重量q=106N/m,材料的弹性模量E=210Gpa。设管道的许用挠度
试确定管道的最大跨度。
6-8 45a号工字钢的简支梁，跨长l=10m,材料的弹性模量E-210Gpa。若梁的最大挠度不得超过
，求梁所能承受的布满全梁的
最大均布载荷q。 6-9一直角拐如图所示，AB段横截面为圆形，BC 段为矩形，A段固定，B段为滑动轴承。C端作用一集中力P=60N。有关尺寸如
图所示。材料的弹性模量E=210Gpa,剪切弹性模量G=0.4E。试求C端的挠度。
提示：由于A端固定，B端为滑动轴承，所以BC杆可饶AB杆的轴线转动。C端挠度由二部分组成；（1）把BC杆当作悬臂梁，受 集中力P作用于C端产生的挠度扭转在C锻又产生了挠度 C端的挠度
，
，；（2）AB杆受
。最后，可得
6-10、以弹性元件作为测力装置的实验如图所示，通过测量BC梁中点的挠度来确定卡头A处作用的力P，已知
,
梁截面宽b=60mm,高h=40mm,材料的弹性模量E=210Gpa。试问当百分表F指针转动一小格（1/100mm）时，载荷P增加多少？
6-11试求以下各梁的支反力，并做弯矩图。
由图可见有三个支反力，但在平面能够力系中，只可列出二个静力平衡方程，可知此梁是静不定梁问题。
（1）选取静定基，建立变形条件
假想解除多余约束C，选取静定基如图（b），变形条件为
（2）计算变形
（3） 建立补充方程，解出多余反力 利用变形条件，可得补充方程
算出中间支座的反力，
（4） 由平衡条件求其他支座反力
因为此梁的载荷和结构有对称性，可知
（5） 作弯矩图如图c) 在中间支座处
6-12加热炉内的水管横梁，支持在三个支点上，承受纵管传来的钢锭载荷。求A、B、C处的反力。并作横梁的弯矩图。
提示：横管简化成三支点的静不定梁。
6-13在车床加工工件，已知工件的弹性模量E=220GP a,试问（1）按图（a）方式加工时，因工件而引起的直径误差是多少？
（2）如在工件自由端加上顶尖 后，按车刀行至工作中点时考虑（b），这时因工件变形而引起的直径误差又是多少？（3）二 者误差的百分比如何？ 提示：（a）情形可简化成在右端作用一集中力P的静定是悬臂梁，（b）情形可简化成左端固定右端简支的静不定梁，在中点作
用一集中力Ｐ。计算直径的误差时，应是所求得挠度的二倍。
６－１4、悬臂梁ＡＢ因强度和刚度不足，用同材料同截面的一根短梁ＡＣ加固，如图所示。问（１）支座Ｃ处的反力
为多
少？（２）梁ＡＢ的最大弯矩和最大挠度要比没有梁 AＣ支撑时减少多少？
6-15、图示一铣床齿轮轴AB，已知传动功率
n=230rpm,D轮为主动轮。若仅考虑齿轮切向力的影响，试求此 轴的弯矩图。
，转速
参考答案
6—1 解：(a)
挠曲线微分方程为：
积分得： 2）
在固定端A，转角和挠度均应等于零，即： 当x=0时， ；
把边界条件代入（1），（2）得
C=0 D=0
再将所得积分常数
求B点处转角和挠度
x=l时代入（3），（4）
（1）3）
4）
（
（（
（b）任意截面上的弯矩为： 挠曲线的微分方程：
积分得
(1)
(2)在固定端B 当x=0时
将边界条件代入（1）、（2）中，得： C=D=0
再将所得积分常数C和D代回（1）、（2）式，得转角方程和挠曲线方程
以截面C的横坐标x=l/2代入以上两式，得截面C的转角和挠度分别为
(c)求支座反力：
=0
选取如图坐标，任意截面上的弯矩为：
挠曲线的微分方程为：
积分得：
（1）
（2）
铰支座上的挠度等于零，故 x=0时
因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，挠曲线也对该点对称。因此，在跨度中点，挠曲线切线的斜率 截面的转角都应等于零，即 x=
时
=0
分别代入（1）、（2）式，得
，D=0
以上两式代入（1）（2）得
当x=0时，
当x=l/2时， 6-2解：AC段， （d）、
解：取坐标系如图。
（1）、求支坐反力、列弯矩方程 支座反力，
AB段，
BC段，
(2)列梁挠曲线近似微分方程并积分 AB段，
BC段，
（3）确定积分常数 利用边界条件：
处，
，代入上面
式中，得
，
处，处，
，再代入
，由
式中，得和
式可得
。
处，
，代入式中，得
（4）转角方程和挠度方程 AB段，
BC段，
最后指出，列弯矩方程时，
不变，
也可取截面右侧的载荷列
出，，这样可使计算大为简化。
左、右集中力P分别为
和
表示集中力
6-3、解：（a）计算转角作用下引起的转角，
集中力
作用下引起的转角，
所以
（1） 计算挠度
集中力
作用下引起的挠度，
集中力作用下引起的挠度
所以
答（b）
，
（c）(1) 计算转角 力偶
作用下引起的转角
力P作用下引起的转角
所以
（2）、计算挠度 力偶
作用下引起的挠度
力P作用下引起的转角 所以
回答
(d ) (e)
,
,
(f) 解答： （1计算转角
力P作用下引用的转角
力偶作用下引起的转角
所以 （2计算挠度
力P作用下引起的挠度
力偶作用下引起的挠度
所以 6-5回答：
6-6解：（1） 选择截面
采用迭加法可求得最大弯矩
由正应力强度条件可得
（2） 校核刚度
采用迭加法可求得最大挠度
计算可知6-7 答：6-8 答：
，此钢梁的刚度够。
6-9提示：由于A端固定，B端为滑动轴承，所以BC杆可饶AB杆的轴线转动。C端挠度由二部分组成；（1）把BC杆当作悬臂梁，受 集中力P作用于C端产生的挠度转在C锻又产生了挠度 C端的挠度
6-11答：（b）
提示：题（c）在固定端处，除有反力偶反力
及竖直反力
，
，；（2）AB杆受扭
。最后，可得
外，还有水平
，此梁是一次静不定梁。可以解除支
作多余反力，建立补充方程求解。
座B，选择反力
答：答（d）固定端。
，在
6-12答：6-13答：（１）２.７３％
６－１4解：（1）计算约束反力
在距离两端的处。
二者误差百分比为
根据在加固处两个悬臂梁的挠度相等这个变形条件，来计算约束反力
。即
可得 （2） 比较最大弯矩 没有加固梁时，
有加固时，
比较可知，梁AB加固后，最大弯矩可减少一半。 （3） 比较最大挠度 没有加固梁时，
有加固时，
经加固后，梁AB在右端的最大挠度要减少 6-15解：
（1） 计算AB轴上的外力
AB轴上的外力偶矩
作用于AB轴的左右齿轮上的切向力为
（2） 求AB轴上的约束反力
AB轴是一次静不定梁，取静定基如图（b）,变形条件为
而
代入有关数据，再代回变形条件中，可得
由平衡条件， （3） 作弯矩图 AB轴的弯矩图如图（c）
。