复变函数与积分变换习题解答

1z（2）e?1

解：令

f(z)?1ez?1

f(z)在ez?1?0即z?2k?i(k??1,?2,?)上不解析

?z??不是f(z)的孤立奇点。

5．思考题

（1）解析函数的零点、极点、多项式的根及使有理函数的分母为零的点有什么关系？

答：若

z0为f(z)的m级零点，则

f(z)?Cm(z?z0)m?Cm?1(z?z0)m?1??,Cm?0.

它是多项式的m重根的推广。因为当多项式展为Taylor级数时，只有有限多项，而现在有无穷多项。 若

z0为f(z)的m级极点，则

f(z)?C?m(z?z0)?m?C?m?1(z?z0)?m?1???C?1(z?z0)??Cn(z?z0)n,C?m?0.n?0?

它是有理函数的分母在以上形式。

z?z0有m重零点的推广。当有理函数在z?z0展成部分分式时也有

（2）怎样确定极点的级？

mz?z0??g(z0)?0，则z0是f(z)?g(z)/(z?z)0答：1）若，而g(z)在内解析且

f(z)的m级极点。或z?z02）若

lim(z?z0)m?f(z)?C?m(C?m?0,m?1)，则

z0是f(z)的m级极点。

f(z)?P(z)/Q(z),z0是P(z)的k级零点，是Q(z)的m级零点。则

z当k?m时，0为f(z)的k?m级零点。

当m?k时， 3）若

z0为f(z)的m?k级极点。

f(z)?1/Q(z),z0是Q(z)的m级零点，则z0是f(z)的m级极点。

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（3）怎样来确定?点函数的性态？

R?z??? 答：若函数f(z)在?点的去心邻域

内解

?为f(z)的孤立奇点时，

我们可以作变换t?1/z，则变换把扩充复平面的?点映射成t平面上的点t?0，扩充复平面上?点的去心邻域变为t平面上原点的去心邻域而把在

0?t?1/R。而f(z)?f(1/t)??(t)。从

R?z???0?t?1/R内对f(z)的研究，化为在内对?(t)的研究，因为f(z)在

0?t?1/R内解析，t?0为?(t)孤立奇点。

R?z???内解析，所以?(t)在

我们规定，如果t?0是?(t)可去奇点、m级极点或本性奇点，则称z??是f(z)可去奇点、m级极点或本性奇点。

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