复变函数与积分变换习题解答

使用复合闭路定理时，要注意曲线的方向，边界曲线C由

C0,C1,C2,?,Cn所围，

?Cf(z)dz?0，即

?C0?C1???Cn?f(z)dz?0???CC,C,?,C2n取顺时针方，这时0取逆时针方向，而1向，而公式

?

中

C0f(z)dz??C1?C2??Cnf(z)dz

C0,C1,?,Cn都取逆时针方向。

（2）柯西积分公式成立的条件是什么？柯西积分公式说明了什么问题？

答：柯西积分公式是建立在柯西积分定理基础上的，以柯西定理成立为前提条件，因此柯

西定理的条件也是柯西积分公式成立的条件。即函数f(z)在以C为边界的闭区域G上解析，当然也可以放宽到f(z)在G内解析，在C上连续。

柯西积分公式反映了解析函数值之间很强的内在联系，f(z)在区域内点?的值f(?)，可以用f(z)在边界C上的值通过积分来表达。这就是说，函数f(z)在区域中任一点的值，完全由它在区域边界C上的值所确定，这是实变量的可微函数所不具有的。 （3）解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同？

答：高阶导数公式说明，函数f(z)只要在闭区域G中处处可微，它就一定处处无限次可微，并且它的各阶导数均为闭区域G上的解析函数。这一点与实变量函数有本质的区别。我们知道，对于实函数y?f(x)而言，即使它在某一区间上一次可导，导数f?(x)不一定仍然可导，甚至可能是不连续的。

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复变函数与积分变换习题解答

练 习 七

1．序列

zn?n!ninn是否有极限？若有，求出其极限。

n!inn?1n1?1?1n?lim?lim[1?]?e?1n??(n?1)!n?1n??n?1(n?1)n?1lim解：因故级数

n??znzn?1

?zn收敛，则其通项

zn?0,(n??)

即序列

zn有极限，亦即 n???limzn?limn!ni?0n??nn

in?2.级数n?1n!是否收敛？是否绝对收敛？

解：因n?1???in1??n!n?1n!收敛，因而绝对收敛，故原级数收敛。

3．试确定下列幂级数的收敛半径。

（1）n?0?cos(in)z?n

R?lim解：

Cncosin?limn??Cn??cosi(n?1)n?1en?e?n2(?(n?1)1(n?1)e?e?limn??2

en?e?1?lim?(n?1)?n??e?e(n?1)en

（2）n?0

?(n?a?n)zn

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复变函数与积分变换习题解答

n?anR?limn??(n?1)?an?1解：

当当当

a?1时 R?1

a?1时 R?1

a?1时 R?1/a

4．将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域。

12(1?z)（1）

???11nn?1)??(?z)???z?n??(n?1)zn(z?1).2?(1?zn?0n?0n?0解：(1?z)

R=1，收敛域为（2）ezz?1z?1

zz?1zz?1zz?1解：g(z)?e?e.e，令f(z)?ef?(z)?f(z)，则

?1(z?1)2

2(z?1)f?(z)?f(z)?0

对此求导

(z?1)2f??(z)?(zz?1)f?(z)?0

2(z?1)f???(z)?(4z?3)f??(z)?2f?(z)?0

?1?1?1?1??????f(0)?e,f(0)??e,f(0)??e,f(0)??e

f(4)(0)?e?1 e2zz?1故

?1?z?121314z?z?z??,z?12!3!4!

（3）

?z0ezdz

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复变函数与积分变换习题解答

2n2n?zzzzedz?0?n!dz???0n!dz?n?0解：0=n?0

z2z?

??11?z2n?1,z??n?0n!2n?1

?5．讨论级数n?0?(z?n?1?zn)的收敛性。

解：级数的部分和为 n?? 当 当

n??Sn(z??k?0?n?1?zn)?zn?1?1

limSn?lim(zn?1?1)

级数收敛。

z?1z?1时 ,n??时 ,n??limSn??1,limSn不存在，级数发散。

limSn?0,z?1当时 ,n??级数收敛。

limSnz??1当时 ,n??不存在，级数发散。

6．证明n?1?z??n在

z?1内解析。

证：当

?z?1?n时，显然z?0，令

?w?1z，则

n?1?z??wnn?1，此级数在

w?1是收敛的。

1?1w?1z 故在是解析的，此即，亦即在

z?1内，n?1?z??n解析。

*7.思考题

（1）如何判定级数的绝对收敛性与收敛性？

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