复变函数与积分变换习题解答
22223my?nx??3x?ly 又
所以 3m??l,且n??3
?m?1?n?l??3 即 ?4.设f(z)在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的。 （1）f(z)=常数； （2）f?(z)?0； （3）Ref(z)?常数
f(z)?常数。
（2）Imf(z)?常数； （5）f(z)解析； （6）
证:由于f(z)在且域D内解析，则可得C?R方程成立，即
?u?v?u?v????x?y且?y?x
1）→2）由f(z)?c则f?(z)?c??0在D内成立，故（2）显然成立，
f?(z)?2）→3）由
?u?v?v?u?u?u?i??i?0???0?u(x,y)?x?x?y?y?x?y是常数
即 Ref(z)?常数
??v?0????y???v(x,y)?u?u??v?0????0??x?y3）→4） u?常数 由C?R条件 ??x是常数
?Imf(z)?常数
4）→5）若Imf(z)?c,f(z)?u?ic,f(z)?u?ic1,因f(z)在D内解析
??u?v?c???0,?x?y?y?u?v?c?????0?y?x?x
?u?(?c)?,?y 即 ?x?u?(?c)???y?x一阶偏导连续且满足C?R条件?f(z)在D内解析。
5）→6） f(z)?u?iv,g(z)?f(z)?u?iv 因g(z)解析，则由C?R条件
?u?v??,?x?y
?u?v???y?x， 对f(z)在D内解析，
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复变函数与积分变换习题解答
??u?v??0?v为常数??y?x??u?v?u?v???,??????f(z)?u?v?x?y?y?x???0?v为常数????y?x为常数
6）→1）
f(z)?常数
?f(z)2=常数，令u?v?c
22分别对x,y求偏导数得
?u??u?22?uu?v?0(u?v)?0??x??y?x??????v?u?u?u?0?(u2?v2)?u?0??y??y???x
22 若u?v?0 则u?v?0,f(z)?0，因而得证
?u?u?v?v?i?0??0,?v22?y 若u?v?0，则?x，故u?常数，由C?R条件?x?y为常数
?f(z)?常数 *5.思考题：
zz（1）复变函数f(z)在一点0可导与在0解析有什么区别？
答：f(z)在
z0解析则必在z0可导，反之不对。这是因为f(z)在z0解析，不但要求f(z)在
z0可导，而且要求f(z)在z0的某个邻域内可导，因此，f(z)在z0解析比f(z)在z0可导的
要求高得多，如
f(z)?z2在
z0=0处可导，但在z0?0处不解析。
（2）函数f(z)在区域D内解析与f(z)在区域D内可导有无区别？ 答：无，（两者等价）。
（3）用C?R条件判断f(z)?u(x,y)?iv(x,y)解析时应注意些什么？ 答：u(x,y),v(x,y)是否可微。
（4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。
答：一是定义。二是充要条件。三是可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数。
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复变函数与积分变换习题解答
练 习 四
1．由下列条件求解析函数f(z)?u?iv： （1）u?2(x?1)y,f(2)??i
u?vy 解：由f(z)解析可知：x则 所以
uy??vx 而
ux?2yuy?2(x?1)
vx??uy??2(x?1),vy?ux?2yv(x,y)??vydy??2ydy?y2??(x)
2?2(x?1)?vx???(x) ??(x)???2(x?1)dx??(x?1)?c
由f(2)??i可知c?0
?f(z)?2(x?1)y?i(y2?x2?2x?1)
yv?arctg,x?0.x（2） yvyvx??22x?y 解：因
??xx2?y2由f(z)解析
xuyux?vy?22x?y 可知：
u(x,y)??uxdx??uy?y??vx?2x?y2
x1dx?ln(x2?y2)??(y)222x?y
yy1???(y)??u(x,y)?ln(x2?y2)?c2222x?yx?y 2
即
f(z)?1yln(x2?y2)?c?iarctg2x
pxv?esiny，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f(z)?u?iv。 2．设
2pxpx?v?vxx?vyy?0pesiny?esiny?0 v(x,y)解：要使为调和函数，有：，即：
?p??1时，v为调和函数，要使f(z)解析，则ux?vy,uy??vx
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u(x,y)??uxdx??vydy??epxcosydx?uy?1pxesiny???(y)??pepxsinyp
11?p)epxsiny??(y)?(p?)epxcosy?cpp
1pxecosy??(y)p
???(y)?(xz??e(cosy?isiny)?c?e?cp?1?f(z)???xpx?e(cosy?isiny)?c??e?z?cp??1u(x,y)?pecosy?c?即：
3．如果f(z)?u?iv为解析函数，试证?u是v的共轭调和函数。
?u?0,?v?0,ux?vy,uy??vx证：因f(z)解析，有：
所以，u,v均为调和函数， 且?u亦为调和函数
?(?u)?v??u?xy??y???v?u??(?u)yx??x?
故?u是v的共轭调和函数
4．如果f(z)?u?iv是一解函数，试证：if(z)也是解析函数。
u?vy,uy??vx证：因f(z)解析，则x 且u,v均可微，从而?u也可微。
而 if(z)?v?iu?v?i(?u)
可知：
vx??uy?vy??ux??(?u)?y ?(?u)?x
即满足C?R条件 ?if(z)也是解析函数。 5．试解方程： （1）e?1?3i
z 12