19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且
，
，
（Ⅰ）求△ABC的面积．
（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{
}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得的面积．
（Ⅱ）数列{an}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1得a1=2，由a2，a4，a8成等比数列，得d=2，从而的前n项和Sn．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，且
∴由正弦定理得：∴由余弦定理得：又∵0＜A＜π，∴∵且
，…
，即：5acosC=﹣5，即：
，
，
，即：b2+c2﹣a2=bc，
，
，由此利用裂项求和法能求出{
}
，由此能求出△ABC
与
∴△ABC的面积是：
联立解得：c=12，…
；…
（Ⅱ）数列{an}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1，得a1=2， 又a2，a4，a8成等比数列，得
，解得d=2…
∴an=2+（n﹣1）×2=2n，有an+2=2（n+2），
则∴=
．…
…
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=
．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求存在，说明理由．
的值，若不
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量设PB与平面PCD的夹角为θ，由PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设可得M（0，1﹣λ，λ），
，M（0，y1，z1），由，由BM∥平面PCD，可得
的坐标，再求出平面PCD的法向量，
求得直线
，由此列式求得当时，M点即为所求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， 且AB⊥AD，AB?平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD?平面PAD， ∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO， ∵CD=AC=
，
∴CO⊥AD， 又∵PA=PD， ∴PO⊥AD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则设则由设
PB
，得与
平
面
，
为平面PCD的法向量，
，则PCD
的
夹
． 角
为
θ
，
则
，
=；
（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），
，
则有∴
，可得M（0，1﹣λ，λ），
，
，M（0，y1，z1），
，B（1，1，0），
∵BM∥平面PCD，∴
，即
为平面PCD的法向量，
，解得
．
综上，存在点M，即当时，M点即为所求．
21．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．
（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1）， 即k=2t=2，解得t=1． 又切点坐标为（1，0），
所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）． “曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于 “函数y=h（x）有且仅有一个零点”．
，（x＞0）．