Fb?mL+ymdy?g?v(y)??(M?L2L2dt?m?Ly?)?g?L2??M?m(L?L2y)d?yd?v?? ? ??dt对右边那段绳应用牛顿第二定律有 (M?mL?ymL?(y?dy)?dvmdy1mdy1m2?)g??M??F?g?g?v 2?L2L2L22L24L??dt这里利用了解法（一）的?式。将上式代入?式，并取取dy?0得

Fb?由⑩?式得

mL?y1m2g?v ?

L24Ly4ML?2mL?my??L?y Fb?mg??? ? 2L4L2ML?mL?my??解法（三）设蹦极者在时刻t下落到离起始水平面距离y处，在时刻t?dt下落到离起始水平

面距离y?dy处。整个系统（整段绳、蹦极者和地球）在这段时间始末动量的改变为

mL?(y?dy)?mL?y???dp??M?v(y?dy)?M?v(y)??L2L2????? ?

mL?ymdy?? ??M?v(y?dy)?v(y?dy)?v(y)??L2?L2??外力的冲量为

I?(M?m)gdt?Fbdt ? 由动量定理

I?dp ? 并利用

v(y?dy)?v(y)?可得

Fb?dvdy dymL+ym2mL?ymdyg?v(y)?(M?)[g?a(y)]?a(y) ? L22LL2L2利用⑨式，?式成为 Fb?mL+ym2mL?ymy(4ML?2mL?my)g?v(y)?(M?)g ? L22LL22(2ML?mL?my)2式中右端已取dy?0。由⑦?式得

y4ML?2mL?my??L?y? Fb?mg?? ? 2L4L2ML?mL?my??

评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑨⑩?式各1分。第（2）问10分，（解法一）???式各2分，??式各1分，?式2分；（解法二）??式各2分，??式各1分，?式2分（其

中包括（解法一）?式的1分），?式2分；（解法三）??式各2分，??式各1分，??式各2分。

五、（20分）一种拉伸传感器的示意图如图a所示：它由一半径为r2的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕N（N??1）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为r1，外表面均匀涂有厚度为t（t??r1??r2）、电阻率为?的石墨烯材料；传感器两端加有环形电极（与绳保持良好接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为N个椭圆环挨在一起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹角为?（见图a），相邻两圈绳之间的接触电阻为Rc。现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现n个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调

节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而成（见图b）。假设拉伸前后? 、r1、r2、?、t均不变。

（1）求拉伸后传感器的伸长率?（?是传感器两电极之间距离的伸长与其原长之比）和两环形电极间电阻的变化率；

（2）在传感器两环形电极间通入大小为I的电流，求此传感器在未

拉伸及拉伸后，在塑料棒轴线上离塑料棒中点O距离为D（D远大于传感器长度）的P点（图中未画出）处沿轴向的磁感应强度。

已知：长半轴和短半轴的长度分别为a和b的椭圆的周长为π(3参考解答：

（1）如图a所示，由几何关系知，传感器轴向和细绳的横截面之间的夹角也是?。传感器两电极之间的长度（原长）为

a?b?ab)，其中b?0。 22r1 ① cos?

每圈绳可看作长半轴为r2?cos?、短半轴为r2?的椭圆环，其周长为

L1?Nr2??r2?r2?2πr?32cos?l?π(3?)?2(??3)②

2cos?2cos?cos?

式中r2??t?r1?r2?r2。拉伸后，传感器的伸长率为?，产生了n个缝隙，设每个缝隙宽L，传感器的长度变为

L2?L1(1??)?L1?n(L?式中

L?l?2πr2?2r1?由①②③④式得

2r12r)?(N?n)1?nL ③ cos?cos?πr232(??1)?2r1 ④ 2cos?cos?2r1)πr(3?2cos??cos?)?4r1(cos??1)ncos????2L14r1N ⑤ πr(3?2cos??cos?)n ?24r1Nn(L?式中最后一步是因为考虑到r1??r2的缘故。

由电阻定律并利用②式得，每圈椭圆环形细绳沿着塑料棒轴向的电阻为 R1?1?r1?r1cos??? ⑥ 2lt(3?2cos??3cos?)r2t式中因子1/2是由于细绳内、外半圈的电阻并联的缘故。未拉伸时传感器的电阻为

?1R)c?NR(1?Rc R0?NR1?(NN),?? 1 ⑦

拉伸后，产生缝隙地方的电阻将由原来的接触电阻2Rc和R1之和变为R2（R2为细绳单独绕圆柱形塑料棒一圈的电阻）

32??3)l(3?2cos??3cos?)?r22cos?cos? R2?? ⑧ ???2?rt2?rt4rtcos?111(?r2传感器在其伸长率为?时的电阻变为

R3?R0?n(2Rc?R1)?nR2 ⑨

由⑥⑦⑧⑨式得，传感器在其伸长率为?时的电阻变化率为

(3?2cos??3cos?)?r2?r1cos??2Rc?4rt?RR3?R0(3?2cos??3cos?)r2tn1cos????r1cos?R0R0N?Rc(3?2cos??3cos?)r2t(3?2cos??3cos?)2?r22?2(3?2cos??3cos?)r2tRc??r1cos?n4r1cos? ?N?r1cos??(3?2cos??3cos?)r2tRc??n(3?2cos??3cos?)2?r22?4?r12cos2? ???2?22?4?r1cos??4cos?(3?2cos??3cos?)tr1r2Rc?N⑩

（2）在未拉伸时电流沿着塑料棒轴向，根据毕奥-萨伐尔定律，此时不会产生沿塑料棒轴向的磁场，P点处沿塑料棒轴向的磁感应强度为零。

同理，只有拉伸后每个缝隙处的细圆环绳中的电流才会产生沿塑料棒轴向的磁场。现仅考虑一圈中心与P点的距离为rz的细圆环绳产生的磁场。如右图所示，在圆环上任一直径AA?一端各取电流元Idl和?Idl，它在P点产生的磁场dB和dB?，dB和dB?的垂直于轴线的分量相互抵消，它们的合磁感应强度沿塑料棒轴向，其大小为2dBcos?（?是。将整个圆环电流类似地按各直径两端分AP与AA?的夹角）

割成一个个电流元，P点沿塑料棒轴向的总磁场即为各元电流在该点产生的磁场的轴向分量dBcos?之和。注意到Idl可以写为Ir2d?（d?是弧元dl所对的圆心角），由毕奥-萨伐尔定律有

B??dBcos???02?2?0 式中r??0Ir2d?? cos?24?r

rz。对于给定的P点，?是常数，于是有sin?

B?

式中

2??0Ir22Irsin?cos?d???022sin2?cos? ? 2?04?rz2rz

cos??r2r?r222z， sin??

?

r?r

222zrz将?式代入?式得

r22IB??0?

2(r22?rz2)3/2

由题设，D远大于传感器的长度，故也远大于r2，因而rz?D??r2，于是

2rI?B??0232D 传感器伸长后有n个缝隙，由?式得 Btotal

评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分；第（2）问10分，传感器在未拉伸时答案正确给1分，??式各1分，??式各2分，?式1分，?式2分。

六、（20分）光电倍增管是用来将光信号转化为电信号并加以放大的装置，其结构如图a所示：它主要由一个光阴极、n个倍增

r22nI??02D3?