精品文档
解:一天吃完有1种:(10);两天吃完有5种:(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3);三天吃完有3种:(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3)。共1+5+3=9(种)。 3.8种。
解:如下图所示,只有1个小矩形竖放的有3种,有3个小矩形竖放的有4种,5个小矩形都竖放的有1种。共3+4+1=8(种)。
4.6个。
解:15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种:(1,2,3,9),(1,2,4,8,)(1,2,5,7),(1,3,4,7),(1,3,5,6),(2,3,4,6)。 可以看出,分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。 5.10个。
提示:由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4,3,2,1个,共有4+3+2+1=10(个)。 6.6种。
提示:将各盘获胜者写出来,可画出枚举树如下:
7.14种。
提示:按四封信的完成顺序可画出枚举树如下:
第22讲 列表法
在四年级讲还原问题(逆推法)和逻辑问题时,我们使用的就是列表法。对于一些计算比较简单,而且多次重复计算的问题,使用列表法,表达简洁,不易出错,如例1;有些问题,条件不断变化,不便统精品文档
精品文档
一列式计算,也应采用列表法,如例2、例3;还有些问题,无法列式计算,只能采用列表推演,如例4、例5。总之,使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。
例1 一个运动队进行翻山训练,往返于一座山两侧山脚下的A,B两地。从A地出发,上山路长3000米,每分钟行75米;下山每分钟行100米,用42分钟到达B地。如果上、下山的速度不变,那么从A地到B地,再从B地返回A地,共需多长时间?
分析与解:这是一道很简单的题目,只需利用时间、路程、速度的关系,就可以得到结果。因为从A地到B地,要先上山再下山,从B地返回A地,又要先上山再下山,中间经过四次变化。为了减少计算错误,可以利用列表法。 先将已知的数据填入下表:
再根据时间、路程、速度的关系,从上到下,由已知的两个求出另一个,边计算边填表,得到下表:
由上表得到往返所需时间为
40+42+56+30=168(分)=2时48分。
例2 有100个人,第一位带了3元9角钱,以后每位都比前一位多带1角钱。每人把自己的钱全部用来买练习本。练习本有每本8角与每本5角的两种。如果每人尽可能买5角一本的,那么这100人共买了多少本每本8角的练习本?
分析与解:因为每人带的钱数不同,所以不可能统一列式计算。可以采用列表法,然后从表中发现规律。填表计算时注意,一要尽量多买5角一本的,二要把钱用完。
由于44角比39角多5角,所以可多买1本5角的,而8角1本的买的数量相同。类似地,45角比40角多5角等等。由此看出,所买8角一本的本数随钱数增加呈周期规律,一个周期内有五个数:3,0,2,4,1(本)。所以100个人共买8角一本的 (3+0+2+4+1)×(100÷5)=200(本)。
精品文档
精品文档
例3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲的速度是6.6米/秒,乙的速度是2.9米/秒。以后每分钟内的速度,甲总是前一分钟的2倍,乙总是前一分钟的3倍。问:出发后多长时间乙追上甲? 分析与解:因为两人的速度都在变化,不好统一列式计算,我们可以列一个表观察一下。
由上表看出,乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算,乙追上甲还需 (2772-2262)÷(2.9×3-6.6×2) =510÷25.5=20(秒)。
所以,出发后3分20秒乙追上甲。
例4 一只大桶装了10升水,另外有恰好能装3升和7升水的桶各一只。怎样才能只利用这三只桶把这10升水平均分为两份?
分析与解:这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算,就是找到了正确方法,叙述整个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示具体倒法,其中箭头表示从箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向的桶中。列表使倒水的过程一目了然,既有利于对问题的思考,又简化了文字叙述。
3
3
在例4中,始终按从大桶向7升桶倒水,从7升桶向3升桶倒水,从3升桶向大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中,出现从这桶倒向那桶,又从那桶倒回这桶(这两步不一定挨着),那么这个操作毫无意义,肯定可以简化掉。
例5甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果。小明按下面的方法搬动5次: 第1次,把1个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去; 第2次,把2个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去;
第3次,甲盘不动,把3个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去; 第4次,乙盘不动,把4个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去; 第5次,丙盘不动,把5个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。
最后发现,甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4,6,8个苹果。你知道小明是怎样搬动的吗? 分析与解:关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬动,每次可以有6种不同选择;后三次搬动,因为固定了一只盘子,所以每次只有2种不同选择。显然,从后向前逆推比较容易。逆推过程见下页表,其中圈起来的数字是题目条件规定不动的,箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘子里。
精品文档
精品文档
因为第五次丙盘不动,由搬动后甲盘中只有4个苹果,它不可能是接受5个苹果的,所以第五次是从甲盘中搬走5个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后的情况。
第四次乙盘不动,或者从甲盘搬到丙盘,或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬到丙盘,因为搬完后甲盘有9个苹果,搬前应有9+4=13(个)苹果,可是甲盘初始时有6个苹果,就是前三次搬动的苹果都给甲盘,也只有6+1+2+3=12(个)苹果,与13个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬4个苹果到甲盘。于是得到下表中“第三次后”的情况。 类似地可以得到“第二次后”的情况。
最后,为满足“初始状态”各盘都是6个苹果,可得到第一次、第二次搬动的情况。 练习22
1.小明骑自行车从A地到B地去送信,先走了一段上坡路,用了14分钟,又走了一段3000米长的平路,最后下坡用了11分40秒。已知小明骑车上坡、走平路、下坡时的速度分别为2.5米/秒、4米/秒、6米/秒,求小明从A地到B地,再返回A地所用的时间。
2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛,即每个队都与其他各队赛一场。请将下面的比赛日程表补全:
3.下图是一个跑道的示意图,沿ACBEA走一圈是400米,沿ACBDA走一圈是275米,其中A到B的直线距离是75米。甲、乙二人同时从A点出发练长跑,甲沿ACBDA的小圈跑,每100米用24秒,乙沿ACBEA的大圈跑,每100米用21秒。问:. (1)乙跑第几圈时第一次与甲相遇? (2)出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇?
精品文档