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表面上的只有B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6点都距9点最远，也就是说，1，2，6点都与9点不在一个表面上。而与9点不在一个表面上的只有一个点，所以1，2，6点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6点重合。

例4 有两块六个面上分别写着1～6的相同的数字积木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？

分析与解：由两图看出，5与1，3，4，6都相邻，所以5的对面只能是2；对右上图使用右手方法，四指由5向4弯曲，大姆指指向6，将5，4，6的这个关系移到左上图，立刻得到1的对面是4，3的对面是6。

5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18， 相对两个面上的数字的乘积最小是4。

例5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？

分析与解：五颗骰子有三颗露出了5，并且5和1，2，3，6相邻，所以5的对面是4；2与1，3，5相邻，因为5与4相对，故2也与4相邻，所以2的对面是6；剩下的1与3必相对。 五颗骰子底面的点数从左至右依次是4，6，3，1，4，其和为4＋6＋3＋1＋4＝18。

例6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？

分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口通过1条棱是1种情况，截口通过2条棱是1种情况，截口不通过任何棱有2种情况。所以共有下图所示的四种可能。

练习14

1.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？

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2.将左下图沿虚线折成一个立方体，它的相交于一个顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？

3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在右上图（2）中，从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？

4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要剪开几条棱？ 5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？

6.在一个立方体的六个面上分别写有A，B，C，D，E五个字母，其中两个面写有相同的字母。下图是它的三个视图。问：哪个字母被写了两遍？

7.右图中第1格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着A，B，C，D，E，F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第21个格时，木块向上的面写的是哪个字母？

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答案与提示 练习14

1.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11个。 2.13；8。

提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。 3.12。

提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为3，6和1。 4.7条。

提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加2条棱长。展开图的周长是14条棱长，所以剪开了14÷2=7（条）棱。

注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开7条棱。也就是说，无论哪种展开图，周长都等于14条棱长。 5.图（1）。

提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到，所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。 6.C。

解：假设C只写了一遍。因为C与A，B，D，E都相邻，所以被写了两遍的字母在C的对面。与C相邻的四个字母的相互位置是确定的。图（2）（3）都有D，C，用右手方法判断，图（2）与图（3）不符。这个矛盾的出现，是因为假设C只写了一遍，所以C写了两遍。 7.A。

提示：木块沿直线滚动4格，与原来的状态相同，所以木块到第5，9，13，17，21格时，与在第1格的状态相同。 第15讲 棋盘的覆盖

同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1），围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。

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用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。 例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？

分析与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。经试验，不可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形 36÷3= 12（个）。

分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。

例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？

分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）。

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