最新小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1] 下载本文

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由8个小正方体构成的2×2×2的正方体,有4个。 所以共有正方体 22+4=26(个)。

由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有13+13+14=40(个)。

例4 有一个棱长为5厘米的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(见下页左上图),求这个立体图形的表面积。

分析与解:由于正方体中间被穿了孔,表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示,八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角,12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体,相对于不粘接,减少了表面积4厘米 ,所以总的表面积为 (2×2×6)×8+(1×1×6)×12-4×12=216(厘米2)。

例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块?

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分析与解:一个长方体有8个角、12条棱、6个面,角上的8个小立方体三面涂有红色,在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色,在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色,不在面上的小立方体没有涂上红色。

根据上面的分析得到:

三面涂有红色的小立方体有8块;

两面涂有红色的小立方体,因为每条棱上要去掉两头的2块,故有[(4-2)+(5-2)+(6-2)]×4=36(块);

一面涂有红色的小立方体,因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体,故有 [(4-2)×(5-2)+(4-2)×(6-2)+(5-2)×(6-2)]×2= 52(块)。 一般地,当a,b,c都不小于2时,对于a×b×c的立方体: 三面涂有红色的小立方体有8块; 两面涂有红色的小立方体的块数是: 精品文档

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[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×4; 一面涂有红色的小立方体的块数是:

[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2; 没有被涂上红色的小立方体的块数是: (a-2)×(b-2)×(c-2)。

例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每种颜色涂两个面,共有多少种不同涂法?(两种涂法,经过翻动能使各种颜色的位置相同,认为是相同的涂法。) 分析与解:根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

(1)两个红色面相对。此时,有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

(2)两个红色面相邻。此时,除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外,当蓝黄相对时,按右图摆放,底面有蓝或黄两种涂法。 所以共有6种不同涂法。

练习13

1.下页左上图中共有多少个面?多少条棱?

2.有30个边长为1米的正方体,在地面上摆成右上图的形式,然后把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。

3.有一个正方体,红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中,有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点,这种顶点最多有几个?最少有几个?

4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3 的小正方体,其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。

5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色,再将其分割成1×1×1的小立方体,取出全部至少有一个面是红色的小立方体,组成表面全部是红色的长方体。那么,可组成的长方体的体积最大是多少? 6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞,洞口呈边长为1分米的正方形(见左下图)。求挖洞后木块的体积及表面积。

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7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形(右上图)。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形,要求有公共边的正方形染不同的颜色,那么,用红色染的正方形最多有多少个? 答案与提示 练习13

1.9个面,21条棱。 2.56米2。

解:4×4+(1+2+3+4)×4=56(米2)。 3.8个;2个。

提示:颜色相同的面两两相对时有8个; 颜色相同的面两两相邻时有2个。 4.45厘米。

解:由3块小立方体构成的长方体体积为1×1×3厘米,故原来长方体的体积为 (1+2)×(1+2)×(3+2)=45(厘米)。 5.96。

解:至少有一个面是红色的小立方体有53-33=98(个),其中三面红的8个,两面红的36个,一面红的54个。可以组成4×4×6的表面全是红色的长方体,体积是4×4×6=96。 6.20分米3;72分米3。 7.22个。

解:一个面最多有5个方格可染成红色(见左下图)。因为染有5个红色方格的面不能相邻,可以相对,所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

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其余四个面中,每个面的四个角上的方格不能再染成红色,至多能染4个红色方格(见上中图)。因为染有4个红色方格的面也不能相邻,可以相对,所以至多有两个面可以染成4个红色方格。 最后剩下两个相对的面,每个面最多可以染2个红色方格(见右上图)。 所以,红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22(个)。 第14讲 立体图形(二)

本讲主要讲长方体和立方体的展开图,各个面的相对位置,提高同学们的看图能力和空间想象能力。

例1 在下面的三个图中,有一个不是右面正四面体的展开图,请将它找出来。

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分析与解:观察四面体容易看出,每个顶点都是三个面的交点,即四面体的每个顶点只与三个面相连,而在图2中,“中心点”与四个面相连,所以图2不是正四面体的展开图。 例2 在下面的四个展开图中,哪一个是右图所示立方体的展开图?

分析与解:观察立方体图形,A,B,C三个面两两相邻,即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图,图1中A与C不相邻,是相对的两个面,不合题意;图3中C与B是相对的两个面,也不合题意;图2、图4中A,B,C三个面都相邻,还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形:

这两个图虽然相似,但是A,B,C三个面的相对位置不同。

我们可以借助一个现成工具——右手,帮助判断三个面的相对位置。伸出右手,让除大姆指外的四指从A向B弯曲,此时,左上图中C位于大姆指指向的方向,右上图中C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A,B,C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。(这也是建立空间坐标系的方法)。

用右手方法很容易判断出,图4是所求的展开图。

例3 右图是一个立方体纸盒的展开图,当折叠成纸盒时,1 点与哪些点重合?

分析与解:直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景,也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8个顶点,其中与A点不在一个

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