D'A'B'C'aDCBA

图8-9

解 AC'?AB?BC?CC'?AB?BC?AA'?a?b?c；

''' AC?AA?AB?BC??AA?AB?AD?a?b?c.

由于向量?a与a平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,

定理1 向量a与非零向量b平行的充分必要条件是存在一个实数?，使得a=?b.

向量的坐标表示

向量在坐标轴上的投影

设A为空间中一点，过点A作轴u的垂线，垂足为A'，则A'称为点A在轴u上的投影(图8-10)．

图8-10

若M为空间直角坐标系中的一点，则M在x轴、y轴、z轴上的投影为A、B、C，如图8-11所示．

z C M O B y

图8-11

A x 设向量AB的始点与终点B在轴u的投影分别为A?、B?，那么轴u上的有向

线段A?B?的值A?B?叫做向量AB在轴u上的投影，记作prjuAB?A?B?，轴u称为投影轴.

图8-12

当A?B?与轴u同向时，投影取正号，当A?B?与轴u反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．

(2) 设MN为空间直角坐标系中的一个向量，点M的坐标为(x1, y1, z1)，点N的坐标为(x2, y2, z2)，显然，向量MN在三个坐标轴上的投影分别为x2?x1，y2?y1，z2?z1．

向量的坐标表示

取空间直角坐标系Oxyz，在x轴、y轴、z轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作i, j, k，它们称为坐标向量．

空间中任一向量a，它都可以唯一地表示为i, j, k数乘之和． 事实上，设a=MN，过M、N作坐标轴的投影，如图8-13所示．

a=MN=MA+AP+PN=MA+MB+MC．

由于MA与i平行，MB与j平行，MC与k平行，所以，存在唯一的实数x, y, z，使得

MA?xi，MB?yj，MC?zk，

即

a=xi+yj+zk． (8-2-1)

z C N O i jk A M P B y x 图 8-13

我们把(8-2-1)式中i, j, k系数组成的有序数组(x, y, z)叫做向量a的直角坐标，记为

a={x, y, z}，向量的坐标确定了，向量也就确定了．

显然，(8-2-1)中的x, y, z是向量a分别在x轴、y轴、z轴上的投影．

因此，在空间直角坐标系中的向量a的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．

例2 在空间直角坐标系中设点M(?3, 1, 5)，N(2, ?3, 1)，求向量MN及NM的直角坐标．

解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以

向量MN的坐标为{5, ?4, ?4}，向量NM的坐标为{?5, 4, 4}．

例3(定比分点公式) 设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)为两已知点，有向线段AB上的点

M将它分为两条有向线段AM和MB，使它们的值的比等于

数?(???1)，即

AM??，求分点M(x,y,z)的坐标. MB 图8-14

解 如图8-14，因为 AMAM与MB在同一直线上，且同方向，故AM???MB，而

?{x?x1,y?y2,z?z2}， MB?{x2?x,y2?y,z2?z}

?MB?{?(x2?x),?(y2?y),?(z2?z)}

所以 x?x1??(x2?x)，y?y1??(y2?y)，z?z1??(z2?z) 解得

x? 当

x1???x2y???y2z???z2,y?1,z?1.

1??1??1???1 点M的有向线段AB的中点 其坐标为

x?x1?x22 y?y1?y22 z?z1?z22 向量的模与方向余弦的坐标表示式

zR向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的. 设空间向量a?M1M2与三条坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，规定： 0????,0????,0????,x0P?M1??M2Qy?称?,?,?为向量a的方向角. 图8-15 ?因为向量a的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此

ax?M1M2?cos??a?cos? ay?M1M2?cos??a?cos?

(8-2-2)