第5节 空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

空间曲线可看作两曲面的交线，设

F(x,y,z)?0 和 G(x,y,z)?0

是两曲面的方程，它们的交线为C.曲线上的任何点的坐标x,y,z应同时满足这两个曲面方

程，因此，应满足方程组

?F(x,y,z)?0 ， ??G(x,y,z)?0 (8-5-1)

反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时两曲面上.所以，它的坐标不满足方程组(1).由上述两点可知：曲线C可由方程组(8-5-1)表示.

图8-36

方程组(8-5-1)称作空间曲线的一般方程.

2?2例1 方程组?x?y?1 表示怎样的曲线

?2x?3z?6解 x2?y2?1表示圆柱面，2x?3y?6表示平面，所以方程组就表示圆柱面与平面的交线，即椭圆.

?z?a2?x2?y2?2例2 讨论方程组?aa2表示的曲线. 2?(x?)?y?()?22解 该方程组表示上半球面与圆柱面的交线C，如下图

空间曲线的参数方程

对于空间曲线C，若C上的动点的坐标x,

y,z可表示成为参数t的函数

?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)? (8-5-2)

随着t的变动可得到曲线C上的全部点，方程组(8-5-2)叫做空间曲线参数方程.

9?222?x?y?z?例3 将空间曲线C ?2 表示成参数方程.

??x?z?1解 由方程组消去z得

9x2?y2?(1?x)2?,

2