第五篇 向量代数与空间解析几何

第八章 向量代数与空间解析几何

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中

来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.

本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.

第1节 空间直角坐标系

空间直角坐标系

用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.

空间直角坐标系

过定点O，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以O为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z轴，当右手的四指从x轴的正向转过

?角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间2直角坐标系（图8-1），称为Oxyz直角坐标系，点O叫做坐标原点.

z O y

x

图8-1

在Oxyz直角坐标系下，数轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy，yOz，zOx，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.

图8-2

空间点的直角坐标

设M为空间中的任一点，过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x轴、y轴和z轴依次交于A、B、C三点，若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，于是点M就唯一确定了一个有序数组(x, y, z)，则称该数组(x, y, z)为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，如图8-3．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．

z C z M(x,y,z) x

O y B y

A x 图8-3

反之，若任意给定一个有序数组(x, y, z)，在x轴、y轴、z轴上分别取坐标为x，y，

z的三个点A、B、C，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一

个交点M，该点就是以有序数组(x, y, z)为坐标的点，因此空间中的点M就与有序数组

(x, y, z)之间建立了一一对应的关系．

注：A、B、C这三点正好是过M点作三个坐标轴的垂线的垂足．

空间中两点之间的距离

设两点M(x1, y1, z1)，N(x2, y2, z2)，则M与N之间的距离为

d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 （8-1-1）

事实上，过点M和N作垂直于xOy平面的直线，分别交xOy平面于点M1和N1，则

MM1 ∥NN1，显然，点M1的坐标为(x1, y1, 0)，点N1的坐标为(x2, y2, 0)（如图8-4）．

R2 N M R1 O N2 Q1 M1 N1 P1 Q2 y P2 x 图8-4

由平面解析几何的两点间距离公式知，M1和N1的距离为：

|M1N1|?(x2?x1)2?(y2?y1)2．

过点M作平行于xOy平面的平面，交直线NN1于N2，则M1N1∥MN2，因此N2的坐标为(x2, y2, z1)，且

|MN2|?|M1N1|?(x2?x1)2?(y2?y1)2，

在直角三角形MN2N中，

|N2N|?|z2?z1|，

所以点M与N间的距离为

d?|MN2|2?|N2N|2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2．

例1 设A(?1, 2, 0)与B(?1, 0, ?2)为空间两点，求A与B两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A与B两点间的距离为

d?[?1?(?1)]2?(0?2)2?(?2?0)2?22．

例2 在z轴上求与点A(3, 5, ?2)和B(?4, 1, 5)等距的点M．

解 由于所求的点M在z轴上，因而M点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于

MA?MB，

由公式（8-1-1），得

32?52?(?2?z)2?(?4)2?12?(5?z)2．

从而解得z?22，即所求的点为M(0, 0, )．

77习题8-1

1．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：