第二章 平面解析几何初步

第三节 空间直角坐标系 第17课时 空间两点间的距离

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平面两点间距离公类比 空间两点间距离公空间中点坐标公式 学习要求

1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式； 2．理解推导公式的方法

【课堂互动】

自学评价 1．空间两点间距离公式

(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2．

2． 空间中点坐标公式 连接空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的线段PP12的中点M的坐标为

(x1?x2y1?y2z1?z2．

,,)222【精典范例】

例1：求空间两点P1(3,?2,5),P2(6,0,?1)间的距离P1P2． 【解】利用两点间距离公式，得

222 P1P2=(6?3)?[0?(?2)]?(?1?5) ?9?4?36?7．

例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为x?y?1．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．

【解】与坐标原点的距离为1的点P(x,y,z)的轨迹是一个球面，满足OP?1，即

22x2?y2?z2?1．因此x2?y2?z2?1，就是所求的球面方程．

例3：已知三点 A(1,3,2)、B(?2,0,4)、C(?8,?6,8)，证明：A,B,C三点在同一直线上． 分析：只要证明AB?BC?AC即可

【解】利用两点间距离公式，得

AB?22、BC?222、AC?322， 所以AB?BC?AC，

所以A,B,C三点在同一直线上．

追踪训练一

1.已知空间中两点P1(x,2,3)和P2(5,4,7)的距离为6，求x的值． 答案：x?1或x?9

2．已知A(2,5,6)，在y轴上求一点P，使PA?7． 答案：P(0,2,0)或P(0,8,0)

3．已知空间三点A(?1,0,1),B(2,4,3)，C(5,8,5)，求证：A,B,C在同一直线上． 答案：?A(?1,0,1),B(2,4,3)，C(5,8,5)

?AB?29,BC?29,AC?229．

?AB?BC?AC，?A,B,C在同一直线上． 【选修延伸】

一、球面方程

例4: 讨论方程(x?2)2?(y?6)2?(z?1)2 ?16的几何意义． 分析：类比空间两点的距离公式，构造点P(x,y,z) 【解】因为(x?2)2?(y?6)2?(z?1)2?16，

222所以(x?2)?(y?6)?(z?1)?4

即动点P(x,y,z)到定点M(?2,6,1)的距离等于4， 所以(x?2)2?(y?6)2?(z?1)2?16．

表示动点P的轨迹：一个半径为4，球心为M(?2,6,1)的球面

思维点拔：

注意类比方法在解决一些空间问题中的应用．

追踪训练二

1. 试解释方程(x?12)2?(y?3)2?(z?5)2

?36的几何意义．

答案：方程表示点P(x,y,z)与点C(12,?3,5)的距离为6，即点P在以点C为球心，半径为6的球面上．

第17课 空间两点间的距离

分层训练

1．空（ ）

间

两

点

A(2,B?5,4之

间的距离等于

(A)21 (B)145 (C)17 (D)21

2．空间两点P(1,3,z),Q(?2,1,4)，且PQ?17，则z等于 （ ） (A)4 (B)2 (C)6 (D)2或6

3．已知空间两点M(2,?3,1),N(?4,5,3)，线段MN的中点为P，则坐标原点O到P点的距离为 （ ）

(A)5 (B)1 (C)5 (D)26 4．以M1(4,3,1 )、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是 （ ）(A)等腰三角形 (B)等边三角形

(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形

5．y轴上到点A(3,4,5)距离为等于38的点的坐标为 ．

6．与点M(1,?2,4)距离等于3的点(x,y,z)的坐标满足的条件是 ． 7．三角形的三个顶点A(2,?1,4)、B(3,2,?6)、C(?5,0,2)，则过A点的中线长为 ．

8．设P是x轴上的点，它到点P求点P2(0,1,?1)的距离的两倍，1(0,2,3)的距离为到点P的坐标．

拓展延伸

9．如图，正三棱柱ABC?A?B?C?中，底面边长为1，侧棱长为3，P,Q分别是A?B?,BC边的中点，求线段PQ的长．

C? A? P

B?

A C

Q

B

10．若点G到?ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就是?ABC的重心．

（1）已知?ABC的三个顶点分别为A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(?1,3,?3)，求?ABC的重心

G的坐标；

（2）?ABC的顶点坐标分别为A(3x?1,1,2z)，

B(1,2?y,3?z)，C(x,2,0)，重心G的坐标为(2,?1,4)，求x,y,z的值．