（21）（本小题满分12分）
已知a?0,n为正整数 （Ⅰ）设y?(x?a)，证明y'?n(x?a)nn?1；
nn（Ⅱ）设fn(x)?x?(x?a)，对任意n?a，证明fn?1'(n?1)?(n?1)fn'(n)
（22）（本小题满分14分）
设a?0，如图，已知直线l:y?ax及曲线C:y?x,C上的点Q1的横坐标为
2a1(0?a1?a).从C上的点Qn(n?1)作直线平行于x轴，交直线l于点Pn?1，再从点Pn?1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn?1. Qn(n?1,2,3,…）的横坐标构成数列?an?
（Ⅰ）试求an?1与an的关系，并求?an?的通项公式； （Ⅱ）当a?1,a1?n1时，证明?(ak?ak?1)ak?2?1 232k?1（Ⅲ）当a?1时，证明?(ak?ak?1)ak?2?k?1n1 3y r2 r1 Q1 O c Q3 Q2 l
a1a2a3x 2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学 试 题（江苏卷）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．?21 14．6,30,10 15．120 16．①④
2三、解答题
17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C. （Ⅰ）P(A)?0.90,P(B)?P(C)?0.95， P(A)?0.10,P(B)?P(C)?0.05.
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C) ?2?0.90?0.95?0.05?0.10?0.95?0.95?0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为
P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)
?0.90?0.052?2?0.10?0.05?0.95?0.10?0.052?0.012 解法二：三件产品都合格的概率为
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?0.90?0.952?0.812
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
1?[P(A?B?C)?0.176]?1?(0.812?0.176)?0.012.
答：至少有两件不合的概率为0.012.
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。 解：由
f(x)是偶函数,得f(?x)?f(x),
即sin(??x??)?sin(?x??),所以?cos?sin?x?cos?sin?x对任意x都成立,且??0,所以得cos??0..23?3?由f(x)的图象关于点M对称,得f(?x)??f(?x),443?3???3??取x?0,得f()?sin(?)?cos,44243?3???3???f()?sin(?)?cos,44243??3????cos?0,又??0,得??k?,k?1,2,3,?,4422???(2k?1),k?0,1,2,?.322??当k?0时,??,f(x)?sin(x?)在[0,]上是减函数;3322当k?1时,??2,f(x)?sin(2x?当k?2时,??依题设0????,所以解得????)在[0,]上是减函数;22?10??,f(x)?sin(?x?)在[0,]上不是单调函数; 3222所以,综合得??或??2.319．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
?D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC?平面ABC,?CDEF为矩形连结DE,G是?ADB的重心,?G?DF.在直角三角形EFD中1FD2,?EF?1,?FD?3.31?26于是ED?2,EG??.33EF2?FG?FD??FC?CD?2,?AB?22,A1B?23,EB?3.?sin?EBG?EG612???.EB3332.3
?A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有VA1?AED?VD?AA1E
?ED?AB,ED?EF,又EF?AB?F,
?ED?平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，
则S?AED?h?S?A1AB?ED
又S?A1AE?1116 S?A1AB?A1A?AB?2,S?AED?AE?ED?.2422?h?2?262?2626
.即A1到平面AED的距离为.33解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)
A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a2a1,,).33322?GE?BD??a2??0.解得a?1.33
aa2?CE?(,,),BD?(0,?2a,1).333241?BA1?(2,?2,2),BG?(,?,).333?cos?A1BG?BA1?BG?14/37?.3|BA1||BG|23?12137A1B与平面ABD所成角是arccos.3（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)
AE?ED?(?1,1,1)?(?1,?1,0)?0,AA1?ED?(0,0,2)?(?1,?1,0)?0,?ED?平面AA1E,又ED?平面AED.20.
（Ⅰ）当a?
2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2（Ⅱ）当0?a?211a11a时，方程①表示椭圆，焦点E(?a2,)和F(??a2,) 2222222（Ⅲ）当a?两个定点.
2时,方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(a?a2?1))和F(0,1(a?a2?1))为合乎题意的22222（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.
证明：（Ⅰ）因为(x?a)nk(?a)n?kxk， ??Cnk?0n