（i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）) (ii) L(x-1，1-x，x-x) 2
R3
2F[x]；
(iii) L(ex，e2x，e3x) C [a，b].
3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基．
4．令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数． 5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？
6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量
的线性组合，那么dimV = n.
7．设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，?，an）来说，要么a1 = a2= ? = an = 0，要么每一个ai 都不等于零，证明dimW = 1．
8．设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW < n．证明：W在V中有不只一个余子空间．
9．证明本书最后的论断．
§6.5 坐标
1．设{过渡矩阵．
1
，
2
，?，
n
}是V的一个基．求由这个基到{
2
，?，
n
，
1
}的
2．证明，{x3，x3+x，x2+1，x+1}是F3 [x]（数域F上一切次数 3的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：
（i）x2+2x+3； （ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x．
33
3．设
4
1
=(2，1，-1，1)，
1
2
=（0，3，1，0），
2
3
=（5，3，2，1），
=（6，6，1，3）．证明{ ， ，
3，
4
} 作成R4的一个基．在R4中求一
个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．
4．设
=(1，2，-1)，
=（0，-1，3）， =（-2，3，1）， =（1，-1，0）；
123
1=（2，1，5）， ，
，
23=（1，3，2）．
证明{
1 23
}和{ 1 ，
2
，
3}都是R3的基．求前者到后者的过渡矩阵．
5．设{ s矩阵．令 ( 1
，
12
，?，
2
n
}是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个n
s ， ，?， )=(
1
，
2
，?，
n
)A ．
证明 dimL( 1 ， 2
，?， s)=秩A．
§6.6 向量空间的同构
1．证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构． 2．设
是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明
是W的一个子空间．
3．证明:向量空间
可以与它的一个真子空间同构．
§6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
34
1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关．
2．证明，秩（A+B） 秩A+秩B．
3．设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证
明，秩B r+s – m．
4．设A是一个m n矩阵，秩A=r．从A中任意划去m–s行与n–t列，其余元素按原来位置排成一个s t矩阵C，证明，秩C r+s+t–m–n．
5．求齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0， 3x1 +2x2 + x3 +x4 –3x5 =0，
5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4–x5 =0， x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =0
的一个基础解系．
6．证明定理6.7.3的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间．
7．证明，F的任意一个≠F的子空间都是若干n–1维子空间的交．
第七章 线性变换
nn§7.1 线性映射
1．令
=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射 哪些是R3到自身的线性映射？
35
（1）
(?) = ?+ ? ，?是R3的一个固定向量． (?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3)
（2）
（3）
(?) =（x12 ，x22 ，x32）．
（4） ?() =（cosx1，sinx2，0）．
2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射 充要条件是：对于任意
是线性映射的
V，都有 ( ) = a ，这里a是F中一个定数．
3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A Mn (F).对任意
X Mn (F)，定义 (X) = AX–XA．
(i) 证明：
是Mn (F)是自身的线性映射。
(XY) =
(X)Y+X
(Y) ．
(ii) 证明：对于任意X，Y Mn (F)，
4．令F4表示数域F上四元列空间，取
A=
对于
F4，令 ( ) = A ．求线性映射 的核和像的维数．
是V到W的一个线性映射．我
n5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令 们如此选取V的一个基： Ker(
)的一个基．证明：
（i）
(
)，?，
(
)组成Im(
1
，?，
s
，
s+1
，?， ，使得
1
，?，
s
，是
s+1n)的一个基；
36